8. Квантовая механика I

Глава 1

АМПЛИТУДЫ ВЕРОЯТНОСТИ

§ 1.Законы композиции амплитуд

§ 2.Картина интерференции от двух щелей

§ З. Рассеяние на кристалле

§ 4. Тождественные частицы

Повторить:гл. 37 (вып. 3) «Квантовое поведение» ; гл. 38 (вып. 3) « Соотношение между волновой и корпускулярной точками зрения»

§ 1. Законы композиции амплитуд

Когда Шредингер впервые открыл правильные законы квантовой механики, он написал уравнение, которое описывало амплитуду вероятности обнаружения частицы в различных местах. Это уравнение было очень похоже на уравнения, которые были уже известны классическим физикам, они ими пользовались, чтобы описать движение воздуха в звуковой волне, распространение света и т. д. Так что в начале развития квантовой механики большую часть времени люди занимались решением этого уравнения. Но в то же время началось (в частности, благодаря Борну и Дираку) понимание тех фундаментально новых идей, которые лежали в основе квантовой механики. По мере дальнейшего ее развития выяснилось, что в ней есть много такого, что прямо в уравнении Шредингера не содержится,— таких вещей, как спин электрона и различные релятивистские явления. Все курсы квантовой механики по традиции начинают с того же самого, повторяя путь, пройденный в историческом развитии предмета. Сперва долго изучают классическую механику, чтобы потом понять, как решается уравнение Шредингера. Затем столь же долго получают различные решения. И лишь после детального изучения этого уравнения переходят к «высшим» вопросам, таким, как спин электрона.

Сначала мы тоже считали, что лучше всего закончить эти лекции, показав, как решаются уравнения классической физики в различных сложных случаях, таких, как описание звуковых волн в замкнутом пространстве, типы электромагнитного излучения в цилиндрических полостях и т. д. Таков был первоначальный план этого курса. Но затем мы решили отказаться от этого плана и вместо этого дать введение в квантовую механику. Мы пришли к заключению, что то, что обычно именуют «высшими» разделами квантовой механики, на самом деле совсем простая вещь. Нужная для этого математика чрезвычайно проста — требуются лишь несложные алгебраические операции, никаких дифференциальных уравнений не нужно (или в крайнем случае нужны самые простые). Проблема только в том, чтобы перепрыгнуть через одно препятствие: усвоить, что мы больше не имеем права детально описывать поведение частиц в пространстве. И вот этим-то мы и собираемся заняться: рассказать вам о том, что обычно называют «высшими» разделами квантовой механики. Но уверяю вас, это самые что ни на есть простые (в полном смысле этого слова), но в то же время самые фундаментальные ее части. Честно говоря, это педагогический эксперимент, и, насколько нам известно, он никогда раньше не ставился.

Конечно, здесь есть своя трудность: квантовомеханическое поведение вещей чрезвычайно странно. Никто не может полагаться на то, что его ежедневный опыт даст ему интуитивное, грубое представление о том, что должно произойти. Так что этот предмет можно представить двояким образом: можно либо довольно грубо , описать, что происходит — сообщать более или менее подробно, что случится, но не формулировать точных законов, либо же можно приводить и точные законы в их абстрактном виде. Но тогда эта абстракция приведет к тому, что вы не будете знать, к чему физически она относится. Этот способ не годится, потому что он совершенно отвлеченный, а от первого способа будет оставаться неприятный осадок, потому что никогда не будет точно известно, что верно, а что нет. И мы не знаем, как эту трудность обойти. С этой проблемой мы уже сталкивались раньше [гл. 37 и 38 (вып. 3)1. В гл. 37 изложение относительно строгое, а в гл. 38 дано лишь грубое описание различных явлений. Теперь мы попытаемся найти золотую середину.

Мы начнем эту главу с некоторых общих квантовомеханических представлений. Кое-какие из этих утверждений будут совершенно точными, иные же точны лишь частично. При изложении нам будет трудно отмечать, которые из них какие, но к тому времени, когда вы дочитаете книжку до конца, вы уже сами будете понимать, оглядываясь назад, какие части устояли, а какие оказались только грубым объяснением. Главы, которые последуют за этой, не будут столь неточными. Одна из причин, почему мы пытаемся в последующих главах быть как можно более точными, состоит в том, что таким образом мы сможем продемонстрировать одно из самых прекрасных свойств квантовой механики — как много в ней удается вывести из столь малого.

Мы опять начинаем с выяснения свойств суперпозиции, наложения, амплитуд вероятностей. Для примера мы сошлемся на опыт, описанный в гл. 37 (вып. 3) и еще раз показанный здесь на фиг. 1.1.

Фиг. 1.1. Интерференционный опыт с электронами.

Имеется источник частиц s, скажем электронов; дальше стоит стенка, в которой имеются две щели; за стенкой помещен детектор; он находится где-то в точке х. Мы спрашиваем: какова вероятность того, что в точке х будет обнаружена частица? Наш первый общий принцип квантовой механики заключается в том, что вероятность того, что частица достигнет точки х, выйдя из источника s, может быть численно представлена квадратом модуля комплексного числа, называемого амплитудой вероятности, в нашем случае — «амплитудой того, что частица из s попадет в х». К этим амплитудам мы будем прибегать так часто, что удобно будет использовать сокращенное обозначение, изобретенное Дираком и повсеместно применяемое в квантовой механике, чтобы отображать это понятие. Мы запишем амплитуду вероятности так:

<Частица попадает в х|Частица покидает s> (1.1)

Иными словами, две скобки <> — это знак, эквивалентный словам «амплитуда (вероятности) того, что»; выражение справа от вертикальной черточки всегда задает начальное условие, а то, что слева,— конечное условие. А иногда будет удобно еще сильнее сокращать, описывая начальные и конечные условия одной буквой. Например, амплитуду (1.1) можно при случав записать и так:

<x|s>. (1.2)

Надо подчеркнуть, что подобная амплитуда — это, конечно, всего-навсего число — комплексное число.

В гл. 37 (вып. 3) мы уже видели, что, когда частица может достичь детектора двумя путями, итоговая вероятность не есть сумма двух вероятностей, а должна быть записана в виде квадрата модуля суммы двух амплитуд. Мы обнаружили, что вероятность того, что электрон достигнет детектора при обеих открытых амбразурах, есть

(1.3)

Теперь мы этот результат собираемся записать в наших новых обозначениях. Сначала сформулируем наш второй общий принцип квантовой механики. Когда частица может достичь данного состояния двумя возможными путями, полная амплитуда процесса есть сумма амплитуд для этих двух путей, рассматриваемых порознь. В наших новых обозначениях мы напишем

При этом мы предполагаем, что щели 1 и 2 достаточно малы, так что, когда мы говорим, что электрон прошел сквозь щель, не встает вопрос, через какую часть щели он прошел. Конечно, можно разбить каждую щель на участки с конечной амплитудой того, что электрон прошел через верх щели или через низ и т. д. Мы допустим, что щель достаточно мала, так что нам не надо думать об этой детали. Это одна из тех неточностей, о которых мы говорили; суть дела можно уточнить, но мы покамест не будем этого делать.

Теперь мы хотим подробнее расписать, что можно сказать об амплитуде процесса, в котором электрон достигает детектора в точке х через щель 1. Это можно сделать, применив третий общий принцип. Когда частица идет каким-то определенным данным путем, то амплитуда для этого пути может быть записана в виде произведения амплитуды того, что будет пройдена часть пути, на амплитуду того, что и остаток пути будет пройден.

Для установки, показанной на фиг. 1.1, амплитуда перехода от s к х сквозь щель 1 равна амплитуде перехода от s к 1, умноженной на амплитуду перехода от 1 к х:

Опять-таки, это утверждение не совсем точно. Нужно добавить еще один множитель — амплитуду того, что электрон пройдет щель в точке 1; но пока это у нас просто щель, и мы положим упомянутый множитель равным единице.

Заметьте, что уравнение (1.5) кажется написанным задом наперед. Его надо читать справа налево: электрон переходит от s к 1 и затем от 1 к х. В итоге если события происходят друг за другом, т. е. если вы способны проанализировать один из путей частицы, говоря, что она сперва делает то-то, затем то-то, потом то-то, то итоговая амплитуда для этого пути вычисляется последовательным умножением на амплитуду каждого последующего события. Пользуясь этим законом, мы можем уравнение (1.4) переписать так:

А теперь мы покажем, что, используя одни только эти принципы, уже можно решать и более трудные задачи, наподобие показанной на фиг. 1.2.

Фиг. 1.2. Интерференционный опыт посложнее.

Тут изображены две стенки: одна с двумя щелями 1 и 2, другая с тремя — а, b и с. За второй стенкой в точке х стоит детектор, и мы хотим узнать амплитуду того, что частица достигнет х. Один способ решения состоит в расчете суперпозиции, или интерференции, волн, проходящих сквозь щели; но можно сделать и иначе, сказав, что имеется шесть возможных путей, и накладывая друг на друга их амплитуды. Электрон может пройти через щель 1, затем через щель а и потом в х, или же он мог бы пройти сквозь щель 1, затем сквозь щель b и затем в x; и т. д. Согласно нашему второму принципу, амплитуды взаимоисключающих путей складываются, так что мы должны записать амплитуду перехода от s к х в виде суммы шести отдельных амплитуд. С другой стороны, согласно третьему принципу, каждую из них можно записать в виде произведения трех амплитуд. Например, одна из них — это амплитуда перехода от s к 1, умноженная на амплитуду перехода от 1 к а и на амплитуду перехода от а к я. Используя наше сокращенное обозначение, полную амплитуду перехода от s к х можно записать в виде

Можно сэкономить место, использовав знак суммы:

Чтобы, пользуясь этим методом, проводить какие-то вычисления, надо, естественно, знать амплитуду перехода из одного места в другое. Я приведу пример типичной амплитуды. В ней не учтены некоторые детали, такие, как поляризация света или спин электрона, а в остальном она абсолютно точна. С ее помощью вы сможете решать задачи, куда входят различные сочетания щелей. Предположим, что частица с определенной энергией переходит в пустом пространстве из положения r_1 в положение r_2. Иными словами, это свободная частица: на нее не действуют никакие силы. Отбрасывая численный множитель впереди, амплитуду перехода от r_1 к r_2 можно записать так:

где r_12=r_2-r_1 а р — импульс частицы, связанный с ее энергией Е релятивистским уравнением

или нерелятивистским уравнением

p^2/2m = Кинетическая энергия.

Уравнение (1.7) в итоге утверждает, что у частицы есть волновые свойства, что амплитуда распространяется как волна с волновым числом, равным импульсу, деленному на

В общем случае в амплитуду и в соответствующую вероятность входит также и время. В большинстве наших первоначальных рассуждений будет предполагаться, что источник испускает частицы с данной энергией беспрерывно, так что о времени не нужно будет думать. Но, вообще-то говоря, мы вправе заинтересоваться и другими вопросами. Допустим, что частица испущена в некотором месте Р в некоторый момент и вы хотите знать амплитуду того, что она окажется в каком-то месте, скажем г, в более позднее время. Это символически можно представить в виде амплитуды <r, t = t_1 P, t= 0>. И ясно, что она зависит и от r, и от t. Помещая детектор в разные места и делая измерения в разные моменты времени, вы получите разные результаты. Эта функция r и t, вообще говоря, удовлетворяет дифференциальному уравнению, которое является волновым уравнением. Скажем, в нерелятивистском случае это уравнение Шредингера. Получается волновое уравнение, аналогичное уравнению для электромагнитных волн или звуковых волн в газе. Однако надо подчеркнуть, что волновая функция, удовлетворяющая уравнению, не похожа на реальную волну в пространстве; с этой волной нельзя связать никакой реальности, как это делается со звуковой волной.

Хотя, имея дело с одной частицей, можно начать пытаться мыслить на языке «корпускулярных волн», но ничего в этом хорошего нет, потому что если, скажем, частиц не одна, а две, то амплитуда обнаружить одну из них в r_1 а другую в r_2 не есть обычная волна в трехмерном пространстве, а зависит от шести пространственных переменных r_1и r_2. Когда частиц две (или больше), возникает потребность в следующем добавочном принципе. Если две частицы не взаимодействуют, то амплитуда того, что одна частица совершит что-то одно, а другая сделает что-то другое, есть произведение двух амплитуд — амплитуд того, что две частицы проделали бы это по отдельности. Например, если <а|s_1>есть амплитуда того, что частица 1 перейдет из s_1 в а, а <b|s_2> — амплитуда того, что частица 2 перейдет из s_2 в b, то амплитуда того, что оба эти события произойдут вместе, есть

<a|sl><b|s_2>.

И еще одну вещь надо подчеркнуть. Предположим, нам неизвестно, откуда появляются частицы на фиг. 1.2, прежде чем они пройдут через щели 1 и 2 в первой стенке. Несмотря на это, мы все равно можем предсказать, что произойдет за стенкой (скажем, вычислить амплитуду попасть в х), если только нам даны два числа: амплитуда попадания в 1 и амплитуда попадания в 2. Иными словами, из-за того, что амплитуды последовательных событий перемножаются, как это показано в уравнении (1.6), все, что вам нужно знать для продолжения анализа,— это два числа, в данном частном случае <1|s> и <2|s>. Этих двух комплексных чисел достаточно для того, чтобы предсказать все будущее. Это-то и делает квантовую механику простой. В следующих главах выяснится, что именно это мы и делаем, когда отмечаем начальные условия при помощи двух (или нескольких) чисел. Конечно, эти числа зависят от того, где расположен источник и каковы другие свойства прибора, но, как только эти числа даны, все подобные детали нам больше не нужны.

§ 2. Картина интерференции от двух щелей

Рассмотрим еще раз вопрос, который мы довольно подробно обсудили раньше, в гл. 37 (вып. 3). Сейчас мы используем идею об амплитуде во всей ее мощи, чтобы показать вам, как она работает. Вернемся к старому опыту, изображенному на фиг. 1.1, добавив к нему еще источник света и поместив его за щелями (ср. фиг. 37.4 гл. 37). В гл. 37 мы обнаружили следующий примечательный результат. Если мы заглядывали за щель 1 и замечали фотоны, рассеивавшиеся где-то за ней, то распределение вероятности того, что электрон попадал в х при одновременном наблюдении этих фотонов, было в точности такое же, как если бы щель 2 была закрыта. Суммарное распределение для электронов, которые были «замечены» либо у щели 1, либо у щели 2, было суммой отдельных распределений и было совсем не похоже на распределение, которое получалось, когда свет бывал выключен. По крайней мере так бывало, когда использовался свет с малой длиной волн. Когда длина волны начинала расти и у нас исчезала уверенность в том, у какой из щелей произошло рассеяние света, распределение становилось похожим на то, которое бывало при выключенном свете.

Посмотрим теперь, что здесь происходит, используя наши новые обозначения и принципы композиции амплитуд. Чтобы упростить запись, можно через j_1опять обозначить амплитуду того, что электрон придет в х через щель 1, т. е.

Сходным же образом j_2 будет обозначать амплитуду того, что электрон достигнет детектора через щель 2:

Это — амплитуды проникновения электрона через щель и появления в х, когда света нет. А если свет включен, мы поставим себе вопрос: какова амплитуда процесса, в котором вначале электрон выходит из s, а фотон испускается источником света L, а в конце электрон оказывается в ж, а фотон обнаруживается у щели 1? Предположим, что мы с помощью счетчика D_1наблюдаем фотон у щели 1 (фиг. 1.3), а такой же счетчик D_2 считает фотоны, рассеянные у щели 2.

Фиг.1.3. Опыт, в котором определяется, через которую из щелей проник электрон.

Тогда можно говорить об амплитуде появления фотона в счетчике D_1а электрона в x; и об амплитуде появления фотона в счетчике D_2, а электрона в х. Попробуем их подсчитать.

Хоть мы и не располагаем правильной математической формулой для всех множителей, входящих в этот расчет, но дух расчета вы почувствуете из следующих рассуждений. Во-первых, имеется амплитуда <1|s> того, что электрон доходит от источника к щели 1. Затем можно предположить, что имеется конечная амплитуда того, что, когда электрон находится у щели 1, он рассеивает фотон в счетчик D_1. Обозначим эту амплитуду через а. Затем имеется амплитуда <x|1> того, что электрон переходит от щели 1 к электронному счетчику в х. Амплитуда того, что электрон перейдет от s к х через щель 1 ирассеет фотон в счетчик D_1тогда равна

<x|l> a <l|s>.

Или в наших прежних обозначениях это просто аj_1.

Имеется также некоторая амплитуда того, что электрон, проходя сквозь щель 2, рассеет фотон в счетчик D_1. Вы скажете: «Это невозможно; как он может рассеяться в счетчик D1? если тот смотрит прямо в щель 1?» Если длина волны достаточно велика, появляются дифракционные эффекты, и это становится возможным. Конечно, если прибор будет собран хорошо и если используются лишь фотоны с короткой длиной волны, то амплитуда того, что фотон рассеется в счетчик D_1от электрона в щели 2, станет очень маленькой. Но для общности рассуждения мы учтем тот факт, что такая амплитуда всегда имеется, и обозначим ее через b. Тогда амплитуда того, что электрон проходит через щель 2 и рассеивает фотон в счетчик D_1есть

Амплитуда обнаружения электрона в х и фотона в счетчике D_1 есть сумма двух слагаемых, по одному для каждого мыслимого пути электрона. Каждое из них в свою очередь составлено из двух множителей: первого, выражающего, что электрон прошел сквозь щель, и второго — что фотон рассеян таким электроном в счетчик D_1;мы имеем

Аналогичное выражение можно получить и для случая, когда фотон будет обнаружен другим счетчиком D_2. Если допустить для простоты, что система симметрична, то а будет также амплитудой попадания фотона в счетчик D_2, когда электрон проскакивает через щель 2, a b — амплитудой попадания фотона в счетчик D_2, когда электрон проходит через щель 1. Соответствующая полная амплитуда — амплитуда того, что фотон окажется в счетчике D_2, а электрон в х,— равна

Вот и все. Теперь мы легко можем рассчитать вероятность тех или иных случаев. Скажем, мы желаем знать, с какой вероятностью будут получаться отсчеты в счетчике D_1при попадании электрона в х. Это будет квадрат модуля амплитуды, даваемой формулой (1.8), т. е. попросту |aj1+bj_2|2. Поглядим на это выражение внимательнее. Прежде всего, если b=0 (мы хотели бы, чтобы наш прибор работал именно так), ответ просто равен |j_1|2 с множителем |a|2. Это как раз то распределение вероятностей, которое получилось бы при наличии лишь одной щели, как показано на фиг. 1.4, а.

Фиг. 1.4. Вероятность отсчета электрона в х при условии, что в D_1 замечен фотон в опыте, показанном на фиг. 1.3. а — при b=0; б — при b=а; в — при 0<b<а.

С другой стороны, если длина волны велика, рассеяние за щелью 2 в счетчик D_1 может стать почти таким же, как за щелью 1. Хотя в а и b могут входить какие-то фазы, возьмем самый простой случай, когда обе фазы одинаковы. Если а практически совпадает с b, то полная вероятность обращается в | j_1+j_2|2, умноженное на |а|2, потому что общий множитель а можно вынести. Но тогда выходит то самое распределение вероятностей, которое получилось бы, если бы фотонов вовсе не было. Следовательно, когда длина волны очень велика (и детектировать фотоны бесполезно), вы возвращаетесь к первоначальной кривой распределения, на которой видны интерференционные эффекты, как показано на фиг. 1.4,б. Когда же детектирование частично все же оказывается эффективным, возникает интерференция между большим количеством j_1 и малым количеством j_2 и вы получаете промежуточное распределение, такое, какое намечено на фиг. 1.4,в. Само собой разумеется, если нас заинтересуют одновременные отсчеты фотонов в счетчике D_2 и электронов в х, то мы получим тот же результат. Если вы вспомните рассуждения гл. 37 (вып. 3), то увидите, что эти результаты описывают количественно то, что было сказано там.

Нам хотелось бы подчеркнуть очень важное обстоятельство и предостеречь от часто допускаемой ошибки. Пусть вас интересует только амплитуда того, что электрон попадает в х, причем вам безразлично, в какой счетчик попал фотон — в D_1или в D_2. Должны ли вы складывать амплитуды (1.8) и (1.9)? Нет! Никогда не складывайте амплитуды разных, отличных друг от друга конечных состояний. Как только фотон был воспринят одним из фотонных счетчиков, мы всегда, если надо, можем узнать, не возмущая больше системы, какая из альтернатив (взаимоисключающих событий) реализовалась. У каждой альтернативы есть своя вероятность, полностью независимая от другой. Повторяем, не складывайте амплитуд для различных конечных условий (под «конечным» мы понимаем тот момент, когда нас интересует вероятность, т. е. когда опыт «закончен»). Зато нужно складывать амплитуды для различных неразличимых альтернатив в ходе самого опыта, прежде чем целиком закончится процесс. В конце процесса вы можете, если хотите, сказать, что вы «не желаете смотреть на фотон». Это ваше личное дело, но все же амплитуды складывать нельзя. Природа не знает, на что вы смотрите, на что нет, она ведет себя так, как ей положено, и ей безразлично, интересуют ли вас ее данные или нет. Так что мы не должны складывать амплитуды. Мы сперва возводим в квадрат модули амплитуд для всех возможных разных конечных состояний, а затем уж складываем. Правильный результат для электрона в x и фотона то ли в D_1то ли в D_2 таков:

§ 3. Рассеяние на кристалле

Следующий пример — это явление, в котором интерференцию амплитуд вероятности следует проанализировать тщательнее. Речь идет о процессе рассеяния нейтронов на кристалле. Пусть имеется кристалл, в котором много атомов, а в центре каждого атома — ядро; ядра расположены периодически, и откуда-то издалека на них налетает пучок нейтронов. Различные ядра в кристалле можно пронумеровать индексом i, где i пробегает целые значения 1, 2, 3, ... , N, а N равняется общему числу атомов. Задача состоит в том, чтобы подсчитать вероятность того, что нейтрон окажется в счетчике, изображенном на фиг. 1.5.

Фиг. 1.5. Измерение рассеяния нейтронов на кристалле.

Для каждого отдельного атома i амплитуда того, что нейтрон достигнет счетчика С, равна амплитуде того, что нейтрон из источника S попадет в ядро i, умноженной на амплитуду а рассеяния в этом месте и умноженной на амплитуду того, что он из i попадет в счетчик С. Давайте запишем это:

Написав это, мы предположили, что амплитуда рассеяния а — одна и та же для всех атомов. Здесь у нас есть множество, по-видимому, неразличимых путей. Они неразличимы оттого, что нейтрон с небольшой энергией рассеивается на ядре, не выбивая при этом самого атома с его места в кристалле — никакой «отметки» о рассеянии не остается. Согласно нашим прежним рассуждениям, полная амплитуда того, что нейтрон попал в С, включает в себя сумму выражения (1.11) по всем атомам:

Из-за того, что складываются амплитуды рассеяния на атомах, по-разному расположенных в пространстве, у амплитуд будут разные фазы, и это даст характерную интерференционную картину, которую мы уже анализировали на примере рассеяния света на решетке.

Интенсивность нейтронов как функция угла в подобном опыте действительно ч часто обнаруживает сильнейшие изменения — очень острые интерференционные пики, между которыми ничего нет (фиг. 1.6, а).

Фиг.1.6. Скорость счета нейтронов как функция угла, а — для ядер со спином 0; б — вероятность рассеяния с переворотом спина; в — наблюдаемая скорость счета для ядра со спином 1/2.

Однако в некоторых сортах кристаллов этого не случается, в них наряду с упомянутыми выше дифракционными пиками имеется общий фон от рассеяния во всех направлениях. Мы должны попытаться понять столь таинственную с виду причину этого. Дело в том, что мы не учли одного важного свойства нейтрона. Его спин равен 1/2. и тем самым он может находиться в двух состояниях: либо его спин направлен вверх (скажем, поперек страницы на фиг. 1.5), либо вниз. И если у ядер самого кристалла спина нет, то спин нейтрона никакого действия не окажет. Но когда и у ядер кристалла есть спин, равный, скажем, тоже 1/2, то вы заметите фон от описанного выше размазанного рассеяния. Объяснение состоит в следующем.

Если спин нейтрона куда-то направлен и спин атомного ядра направлен туда же, то в процессе рассеяния направление спина не меняется. Если же спины нейтрона и атомного ядра направлены в противоположные стороны, то рассеяние может происходить посредством двух процессов, в одном из которых направления не меняются, а в другом происходит обмен направлениями. Это правило о том, что сумма спинов не должна меняться, аналогично нашему классическому закону сохранения момента количества движения. И мы уже в состоянии будем понять интересующее нас явление, если предположим, что все ядра, на которых происходит рассеяние, имеют одно и то же направление спина. Нейтрон с тем же направлением спина тогда рассеется так, что получится ожидавшееся узкое интерференционное распределение. А что будет с нейтроном с противоположным направлением спина? Если он рассеивается без переворота направления спина, то ничего по сравнению со сказанным не меняется; но если при рассеянии оба спина переворачиваются, то, вообще говоря, можно указать, на каком из ядер произошло рассеяние, потому что именно у этого ядра спин перевернулся. Но если мы в состоянии указать, на каком атоме случилось рассеяние, то причем здесь остальные атомы? Ни при чем, конечно. Рассеяние здесь такое же, как от отдельного атома.

Чтобы учесть этот эффект, надо видоизменить математическую формулировку уравнения (1.12), потому что в том анализе состояния не были охарактеризованы полностью. Пусть вначале у всех нейтронов, вылетающих из источника, спин направлен вверх, а у всех ядер кристалла — вниз. Во-первых, нам нужна амплитуда того, что в счетчике нейтронов их спин окажется направленным вверх и все спины в кристалле будут по-прежнему смотреть вниз. Это ничем не отличается от наших прежних рассуждений. Обозначим через а амплитуду рассеяния без переворота спина. Амплитуда рассеяния от i-го атома, разумеется, равна

Поскольку все спины атомов направлены вниз, разные альтернативы (разные значения i) нельзя друг от друга отличить. В этом процессе все амплитуды интерферируют.

Но есть и другой случай, когда спин детектируемого нейтрона смотрит вниз, хотя вначале, в S, он смотрел вверх. Тогда в кристалле один из спинов должен перевернуться вверх, скажем спин k-го атома. Допустим, что у всех атомов амплитуда рассеяния с переворотом спина одна и та же и равна 6. (В реальном кристалле имеется еще одна неприятная возможность: перевернутый спин переходит к какому-то другому атому, но допустим, что в нашем кристалле вероятность этого мала.) Тогда амплитуда рассеяния равна

Если мы спросим теперь, какова вероятность того, что у нейтрона спин окажется направленным вниз, а у k-го ядра — вверх, то она будет равняться квадрату модуля этой амплитуды, т. е. просто |b|2, умноженному на |<С|k><k|S>|2. Второй множитель почти не зависит от того, где атом k расположен в кристалле, и все фазы при вычислении квадрата модуля исчезают. Вероятность рассеяния на любом ядре кристалла с переворотом спина, стало быть, равна

что дает гладкое распределение, как на фиг. 1.6, б.

Вы можете возразить: «А мне все равно, какой атом перевернулся». Пусть так, но природа-то это знает, и вероятность на самом деле выходит такой, как написано выше,— никакой интерференции не остается. А вот если вас заинтересует вероятность того, что спин в детекторе будет направлен вверх, а спины всех атомов — по-прежнему вниз, то вы должны будете взять квадрат модуля суммы:

Поскольку у каждого слагаемого в этой сумме есть своя фаза, то они интерферируют и появляется резкая интерференционная картина. И если мы проводим эксперимент, в котором мы не наблюдаем спина детектируемого нейтрона, то могут произойти события обоих типов и сложатся отдельные вероятности. Полная вероятность (или скорость счета) как функция угла тогда выглядит подобно кривой на фиг. 1.6, в.

Давайте еще раз окинем взглядом физику этого опыта. Если вы способны в принципе различить взаимоисключающие конечные состояния (хотя вы и не собирались на самом деле этого делать), то полная конечная вероятность получается подсчетом вероятности каждого состояния (а не амплитуды) и последующим их сложением. А если вы неспособны даже в принципе различить конечные состояния, тогда надо сперва сложить амплитуды вероятностей, а уж потом вычислять квадрат модуля и находить самую вероятность. Заметьте особенно, что если бы вы попытались представить нейтрон в виде отдельной волны, то получили бы одно и то же распределение и для рассеяния нейтронов, вращающихся спином вниз, и для нейтронов, вращающихся спином вверх. Вы должны были бы сказать, что «волна» нейтронов со спином, направленным вниз, пришла ото всех различных атомов и интерферирует так же, как это делает одинаковая по длине волна нейтронов со спином, направленным вверх. Но мы знаем, что на самом деле это не так. Так что (мы уже это отмечали) нужно быть осторожным и не представлять себе чересчур реально волны в пространстве. Они полезны для некоторых задач. Но не для всех.

§ 4. Тождественные частицы

Очередной опыт, который мы хотим описать, продемонстрирует одно из замечательных следствий квантовой механики. В нем снова встретятся такие физические события, в которых существуют два неразличимых пути и, как всегда при таких обстоятельствах, возникает интерференция амплитуд. Мы собираемся рассмотреть рассеяние одних ядер на других при сравнительно низкой энергии. Начнем, скажем, с a-частиц (это, как вы знаете, просто ядра гелия), бомбардирующих кислород. Чтобы облегчить анализ реакции, проведем его в системе центра масс, в которой скорости ядра кислорода и a-частицы перед столкновением противоположны, а после столкновения тоже противоположны (фиг. 1.7, а). (Величины скоростей, конечно, различны, поскольку массы различны.) Предположим также, что энергия сохраняется и что энергия столкновения настолько мала, что частицы ни раскалываются, ни переходят в возбужденное состояние. Причина, отчего частицы отклоняют друг друга, состоит попросту в том, что обе они заряжены положительно и, выражаясь классически, отталкиваются, проходя одна мимо другой. Рассеяние на разные углы будет происходить с различной вероятностью, и мы хотим выяснить угловую зависимость подобного рассеяния. (Конечно, все это можно рассчитать классически, и по удивительной случайности оказалось, что ответ на этот вопрос в квантовой механике и в классической — один и тот же. Это очень занятно, потому что ни при каком законе сил, кроме закона обратных квадратов, так не бывает, стало быть, это и впрямь случайность.)

Вероятность рассеяния в разных направлениях можно измерить в опыте, изображенном на фиг. 1.7,а.

Фиг. 1.7. Рассеяние a-частиц на ядрах кислорода, наблюдаемое в системе центра масс.

Счетчик в положении D_1может быть сконструирован так, чтобы детектировать только a-частицы; счетчик в положении D_2 может быть устроен так, чтобы детектировать кислород просто для проверки. (В системе центра масс детекторы должны смотреть друг на друга, в лабораторной — нет.) Опыт заключается в измерении вероятности рассеяния в разных направлениях. Обозначим через f(q) амплитуду рассеяния в счетчики, когда они расположены под углом q; тогда | f(q)|2 — наша экспериментально определяемая вероятность.

Можно было бы провести и другой опыт, в котором наши счетчики реагировали бы ина a-частицу, ина ядро кислорода. Тогда нужно сообразить, что будет, если мы решим не заботиться о том, какая из частиц попала в счетчик. Разумеется, когда кислород летит в направлении q, то с противоположной стороны, под углом (p-q), должна оказаться a-частица (фиг. 1.7,б). Значит, если f(q) — амплитуда рассеяния кислорода на угол 0, то f(р-q) — это амплитуда рассеяния a-частицы на угол θ. Таким образом, вероятность того, что какая-то частица окажется в счетчике, который находится в положении d_1, равна

Заметьте, что в принципе оба состояния различимы. Даже если в этом опыте мы их не различали, мы могли бы это сделать. И в соответствии с нашими прежними рассуждениями мы, стало быть, должны складывать вероятности, а не амплитуды.

Приведенный выше результат справедлив для многих ядер. Мишенью здесь могут служить и кислород, и углерод, и бериллий, и водород. Но он неверен при рассеянии a-частиц на a-частицах. В том единственном случае, когда обе частицы в точности одинаковы, экспериментальные данные не согласуются с предсказаниями формулы (1.14). Например, вероятность рассеяния на угол 90° в точности вдвое больше предсказанной вышеизложенной теорией — с частицами, являющимися ядрами «гелия», номер не проходит. Если мишень из Не^3, а налетают на нее a-частицы (Не^4), то все хорошо. И только когда мишень из Не^4, т. е. ее ядра тождественны падающим a-частицам, только тогда рассеяние меняется с углом каким-то особым образом.

Быть может, вы уже догадались, в чем дело? В счетчике a-частица может очутиться по двум причинам: либо из-за рассеяния налетевшей a-частицы на угол q, либо из-за рассеяния ее на угол (p-q). Как мы можем удостовериться, кто попал в счетчик — частица-снаряд или частица-мишень? Никак. В случае рассеяния a-частиц на a-частицах существуют две альтернативы, различить которые нельзя. Приходится дать амплитудам вероятности интерферировать при помощи сложения, и вероятность обнаружить в счетчике a-частицу есть квадрат этой суммы:

Это совсем не то, что (1.14). Возьмите, скажем, угол я/2 (это легче себе представить). При q=p/2 мы, естественно, имеем f(q)=f(p-q), так что из (1.15) вероятность оказывается равной

А с другой стороны, если бы не было интерференции, формула (1.14) дала бы только 2|f(p/2)|2. Так что на угол 90° рассеивается вдвое больше частиц, чем можно было ожидать. Конечно, и под другими углами результаты будут другие. И мы приходим к необычному выводу: когда частицы тождественны, происходит нечто новое, чего не бывало, когда частицы можно было друг от друга отличить. При математическом описании вы обязаны складывать амплитуды взаимоисключающих процессов, в которых обе частицы просто обмениваются ролями, и происходит интерференция.

Еще более неожиданное явление происходит с рассеянием электронов на электронах или протонов на протонах. Тогда не верен ни один из прежних результатов! Для этих частиц мы должны призвать на помощь совершенно новое правило: если попадающий в некоторую точку электрон обменивается своей индивидуальностью с другим электроном, то новая амплитуда интерферирует со старой в противофазе. Это все равно интерференция, но с обратным знаком. В случае a-частиц, когда происходит обмен a-частицами, достигающими счетчика, амплитуды интерферируют с одним и тем же знаком. А в случае электронов амплитуды обмена интерферируют с разными знаками. С точностью до одной детали, о которой будет сейчас сказано, правильная формула для электронов в опыте, подобном изображенному на фиг. 1.8, такова:

Это утверждение нуждается в уточнении, потому что мы не учли спин электрона (у a-частиц спина нет).

Фиг, 1.8. Рассеяние электронов на электронах.

Если спины сталкивающихся электронов параллельны, то процессы а и б неразличимы.

Спин электрона можно считать направленным либо вверх, либо вниз по отношению к плоскости рассеяния. Если энергия в опыте достаточно низка, то магнитные силы, возникающие от токов, будут малы и не повлияют на спин. Предположим в нашем анализе, что так оно и есть, так что нет шансов, чтобы спины при столкновении перевернулись. Какой бы спин у электрона ни был, он уносит его с собой. Мы видим теперь, что есть много возможностей. У частицы-снаряда и частицы-мишени оба спина могут быть направлены вверх, или вниз, или в разные стороны. Если они оба направлены вверх, как на фиг. 1.8 (или оба — вниз), то после рассеяния останется то же самое, и амплитуда процесса будет разностью амплитуд тех двух возможностей, которые показаны на фиг. 1.8. Вероятность обнаружить электрон в счетчике D_1тогда будет даваться формулой (1.16).

Предположим, однако, что у «снаряда» спин направлен вверх, а у «мишени» — вниз. У электрона, попавшего в счетчик D_1, спин может оказаться либо направленным вверх, либо —вниз, и, измеряя этот спин, мы можем сказать, выскочил ли этот электрон из бомбардирующего пучка или же из мишени.

Фиг. 1.9. Рассеяние электронов с антипараллельными спинами.

Эти две возможности показаны на фиг. 1.9; в принципе они различимы, и поэтому интерференции не получится, просто сложатся две вероятности. Все это верно и тогда, когда оба первоначальных спина перевернуты, т. е. если спин слева смотрит вниз, а спин справа — вверх.

Таблица 1.1 · рассеяние неполяризованных частиц со спином 1/2

Наконец, если электроны вылетают случайно (например, они вылетают из накаленной вольфрамовой нити полностью неполяризованным пучком), то с равной вероятностью каждый отдельный электрон вылетит либо спином вверх, либо спином вниз. Если мы не собираемся в нашем опыте измерять в какой-нибудь точке спин электронов, то получается то, что называют экспериментом с неполяризованными частицами. Результат этого эксперимента лучше всего подсчитать, перечислив все мыслимые возможности, как это сделано в табл. 1.1. Для каждой различимой альтернативы отдельно подсчитана вероятность. Тогда полная вероятность есть сумма всех отдельных вероятностей. Заметьте, что для неполяризованных пучков результат при q=p/2 составляет половину классического результата для независимых частиц.

Поведение тождественных частиц приводит ко многим интересным следствиям; в следующей главе мы обсудим их поподробнее.

* Вообще-то направление рассеяния должно, конечно, описываться двумя углами — полярным углом j и азимутом q. Тогда следовало бы сказать, что рассеяние кислорода в направлении (q,j) означает, что a-частица движется в направлении (p-q, j+p). Однако для кулоновского рассеяния (и многих других случаев) амплитуда рассеяния не зависит от j. Тогда амплитуда того, что кислород полетел под углом 6, совпадает с амплитудой того, что a-частица полетела под углом (p-q).

* По-русски, наверно, правильнее говорить амплитуда вероятности, но короче говорить просто амплитуда и примириться с выражением типа «амплитуда того, что электрон находится в точке х».— Прим. ред.

* В американском издании этот том начинается с двух глав из второго тома [гл. 37 и 38 (вып. 3)], которые авторы считали нужным повторить. Это было сделано для того, чтобы третий том можно было читать, не обращаясь к прежним томам. В русском издании мы не стали печатать их снова: читатель должен всегда держать первые выпуски под рукой, поэтому нумерация глав в русском издании сдвинута на 2 единицы по сравнению с третьим томом. Из тех же соображений мы не перепечатали вновь гл. 34 и 35, они вошли в вып. 7.— Прим. ред.

Глава 2

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ

§ 1.Бозе-частицы и ферми-частицы

§ 2.Состояния с двумя бозе-частицами

§ 3.Состояния с n бозе-частицами

§ 4.Излучение и поглощение фотонов

§ 5.Спектр абсолютно черного тела

§ 6.Жидкий гелий

§ 7.Принцип запрета

Повторить: гл. 41 (вып. 4) «Броуновское движение» (об излучении абсолютно черного тела гл. 42 (вып 4 «Применения кинетической теории»

§ 1. Бозе-частицы и ферми-частицы

В предыдущей главе мы начали рассматривать особые правила, по которым происходит с интерференция в процессах с двумя тождественными частицами. Тождественными мы считаем такие частицы, которые, подобно электронам, никак невозможно отличить друг от друга. Если в процессе имеются две тождественные частицы, то замена той, которая повернула к счетчику, на другую — это неотличаемая альтернатива, которая, как и во всех случаях неотличимых альтернатив, интерферирует с первоначальным случаем, когда обмена не было. Амплитудой события тогда служит сумма двух интерферирующих амплитуд, и существенно, что в одних случаях интерференция происходит в фазе, а в других — в противофазе.

Представим, что сталкиваются две частицы а и b и частица а рассеивается в направлении 1, а частица b — в направлении 2 (фиг. 2.1, а).

Фиг. 2.1. При рассеянии двух тождественных частиц процессы а и б неразличимы.

Пусть f(q) будет амплитуда этого процесса; тогда вероятность Р_1наблюдения подобного события пропорциональна |f(q)|2. Конечно, могло случиться, что частица b рассеялась в счетчик 1, а частица а направилась в счетчик 2 (фиг. 2.1, б). Если считать, что никаких специальных направлений, определяемых спином или чем-то подобным, в опыте нет, то вероятность Р_2 этого события можно просто записать в виде | f(p-q)|2, потому что этот процесс попросту эквивалентен первому процессу, в котором счетчик 1 поставили под углом (я — 6). И вам могло бы показаться, что амплитуда второго процесса равна просто f(p-q). Но это не обязательно так, потому что в ней мог стоять произвольный фазовый множитель. Иначе говоря, амплитуда могла бы быть такой:

Ведь и такая амплитуда все еще приводит к вероятности Р_2, равной |f(p-q)|2.

Посмотрим теперь, что случается, если частицы a и b оказываются идентичными. Тогда два разных процесса, показанных на двух частях фиг. 2.1, уже нельзя друг от друга отличить. Существует амплитуда того, что а или b попадает в счетчик 1, тогда как оставшаяся частица попадает в счетчик 2. Эта амплитуда есть сумма амплитуд двух процессов, показанных на фиг. 2.1.

Если первую мы обозначим f(q), то вторая будет и теперь уже фазовый множитель очень важен, потому что мы собираемся складывать амплитуды. Предположим, что мы обязаны умножать амплитуду на некий фазовый множитель всякий раз, когда две частицы обмениваются ролями. Если они еще раз обменяются ими, то множитель появится еще раз. Но при этом мы снова возвратимся к первому процессу. Фазовый множитель, взятый дважды, должен вернуть нас к тому, с чего мы начали,— его квадрат должен быть равен единице. Есть только две возможности:

равно либо +1, либо -1. Обмен приводит ко вкладу в амплитуду с тем же знаком или ко вкладу с противоположным знаком. И оба случая встречаются в природе, каждый для своего класса частиц. Частицы, интерферирующие с положительным знаком, называются бозе-частицами, а те, которые интерферируют с отрицательным знаком, именуются ферми-частицами. Ферми-частицы — это электрон, мюон, оба нейтрино, нуклоны и барионы. Стало быть, амплитуда рассеяния тождественных частиц имеет вид для бозе-частиц:

(Амплитуда процесса)+(Амплитуда обмена); (2.1) для ферми-частиц:

(Амплитуда процесса)-(Амплитуда обмена). (2.2)

Для частиц со спином (скажем, электронов) возникает добавочное усложнение. Нужно указывать не только местоположение частиц, но и направление их спинов. Только в том случае, когда частицы идентичны и их спиновые состояния тоже идентичны, только тогда при обмене частицами амплитуды интерферируют. А если вас интересует рассеяние неполяризованных пучков, являющихся смесью различных спиновых состояний, то нужны еще выкладки и сверх этого.

Интересная проблема возникает при наличии двух или больше тесно связанных частиц. К примеру, в a-частице сидят четыре частицы: два нейтрона и два протона. И когда рассеиваются две a-частицы, может представиться несколько возможностей. Может случиться, что при рассеянии обнаружится конечная амплитуда того, что один из нейтронов перескочит от одной a-частицы к другой, а нейтрон из другой a-частицы перейдет к первой, так что две a-частицы после рассеяния оказываются не первоначальными частицами — произошел обмен парой нейтронов (фиг. 2.2).

Фиг. 2.2. Рассеяние двух a-частиц.

а —- обе частицы сохраняют свою индивидуальность; б — во время рассеяния происходит обмен нейтроном.

Амплитуда рассеяния с обменом парой нейтронов будет интерферировать с амплитудой рассеяния без такого обмена, и интерференция должна иметь знак минус, потому что состоялся обмен ферми-частицами. С другой стороны, если относительная энергия двух a-частиц так мала, что они находятся сравнительно далеко друг от друга (скажем, из-за кулоновского отталкивания) и вероятность обмена любыми внутренними частицами оказывается незначительной, в этом случае a-частицу можно считать простейшим объектом, не задумываясь о деталях ее внутреннего строения. В этих условиях в амплитуду рассеяния войдут только два члена. Либо обмена вовсе нет, либо при рассеянии происходит обмен всеми четырьмя нуклонами. Поскольку и протоны, и нейтроны в a-частице — это ферми-частицы, обмен любой парой меняет знак амплитуды рассеяния. Пока внутри a-частиц нет никаких изменений, обмен двумя a-частицами означает то же самое, что обмен четырьмя парами ферми-частиц. Каждая пара меняет знак, и в итоге амплитуды складываются со знаком плюс. Так что a-частица ведет себя как бозе-частица.

Значит, правило состоит в том, что сложные объекты в тех обстоятельствах, когда их можно считать неделимыми объектами, ведут себя как бозе- или ферми-частицы, смотря но тому, содержится ли в них четное или нечетное число ферми-частиц.

Все элементарные ферми-частицы, о которых мы упоминали (такие, как электрон, протон, нейтрон и т. д.), обладают спином j=1/2. Если несколько таких ферми-частиц образует сложный объект, общий их спин может быть либо целым, либо полуцелым. К примеру, у самого распространенного изотопа гелия Не^4, в котором два протона и два нейтрона, спин равен нулю, а у Li^7, в котором протонов три, а нейтронов четыре, спин равен 3/2. Позже мы выучим правила сложения моментов количества движения, а пока просто заметим, что всякий сложный объект с полуцелым спином имитирует ферми-частицу, тогда как всякий сложный объект с целым спином имитирует бозе-частицу.

Интересно, отчего так получается? Отчего частицы с полуцелым спином суть ферми-частицы, чьи амплитуды складываются со знаком минус, а частицы с целым спином суть бозе-частицы, чьи амплитуды складываются с положительным знаком? Мы просим прощения за то, что неспособны элементарно объяснить вам это. Но объяснение существует, его нашел Паули, основываясь на сложных доводах квантовой теории поля и теории относительности. Он показал, что эти факты с необходимостью связаны друг с другом; но мы не в состоянии найти способ воспроизвести его аргументы на элементарном уровне. Это, видимо, одно из немногих мест в физике, когда правило формулируется очень просто, хотя столь же простого объяснения ему не найдено. Объяснение коренится глубоко в релятивистской квантовой механике. По-видимому, это означает, что мы до конца не понимаем лежащего в его основе принципа. Будем считать его пока одним из законов Вселенной.

§ 2. Состояния с двумя бозе-частицами

Теперь мы хотели бы обсудить интересное следствие из правила сложения для бозе-частиц. Оно касается поведения этих частиц, когда их не одна, а несколько. Начнем с рассмотрения случая рассеяния двух бозе-частиц на двух различных рассеивателях. Нас интересуют не детали механизма рассеяния, а лишь одно: что происходит с рассеянными частицами. Пусть перед нами случай, показанный на фиг. 2.3.

Фиг. 2.3. Двойное рассеяние в близкие конечные состояния.

Частица а, рассеявшись, оказалась в состоянии 1. Под состоянием мы подразумеваем данное направление и энергию или какие-нибудь другие заданные условия. Частица b рассеялась в состояние 2.Предположим, что состояния 1 и 2 почти одинаковы. (На самом же деле мы хотели бы получить амплитуду того, что две частицы рассеялись в одном и том же направлении или в одно и то же состояние, но лучше будет; если мы сперва подумаем над тем, что произойдет, если состояния будут почти одинаковыми, а затем выведем отсюда, что бывает при их полном совпадении.)

Пусть у нас была бы только частица а; тогда у нее была бы определенная амплитуда рассеяния в направлении 1, скажем <1|а>. А частица b сама по себе обладала бы амплитудой <2|b> того, что приземление произойдет в направлении 2. Если частицы не тождественны, то амплитуда того, что в одно и то же время произойдут оба рассеяния, равна попросту произведению

<1|а><2|b>. Вероятность же такого события тогда равна

|<l|a><2|b>|2 что также равняется

|<1|а>|2|<2|b>|2. Чтобы сократить запись, мы иногда будем полагать

<1|а>=а_1, <2|b>=b_2.

Тогда вероятность двойного рассеяния есть

|a_1|2|b_2|2.

Могло бы также случиться, что частица b рассеялась в направлении 1, а частица а —в направлении 2. Амплитуда такого процесса была бы равна

<2|а><1|b>, а вероятность такого события равна

|<2|а><1|b>|2=|a_2|2|b_1|2.

Представим себе теперь, что имеется пара крошечных счетчиков, которые ловят рассеянные частицы. Вероятность Р_2 того, что они засекут сразу обе частицы, равна просто

P_2=|a_1|2|b_2|2+|a2|2|b_1|2. (2.3)

Положим теперь, что направления 1 и 2 очень близки. Будем считать, что а с изменением направления меняется плавно, тогда а_1и а_2 при сближении направлений 1 и 2 должны приближаться друг к другу. При достаточном сближении амплитуды а_1и а_2 сравняются, и можно будет положить а_1=а_2 и обозначить каждую из них просто а; точно так же мы положим и b_1=b_2=b. Тогда получим

Р_2=2|а|2|b|2. (2.4)

Теперь, однако, предположим, что а и b — тождественные бозе-частицы. Тогда процесс перехода а в состояние 1, а b в состояние 2 нельзя будет отличить от обменного процесса, в котором b переходит в 2, а а — в 1. В этом случае амплитуды двух различных процессов могут интерферировать. Полная амплитуда того, что в каждом из счетчиков появится по частице, равна

<1| а><2|b>+<2|а><1|b>, (2.5)

и вероятность того, что ими будет зарегистрирована пара, дается квадратом модуля этой амплитуды:

Р_2= |а_1b_2+a_2b_1|2=4|a|2|b|2(2.6)

Б итоге выясняется, что вдвое более вероятно обнаружить две идентичные бозе-частицы, рассеянные в одно и то же состояние, по сравнению с расчетом, проводимым в предположении, что частицы различны.

Хотя мы считали, что частицы наблюдаются двумя разными счетчиками,— это несущественно. В этом можно убедиться следующим образом. Вообразим себе, что оба направления 1 и 2 привели бы частицы в один и тот же маленький счетчик, который находится на каком-то расстоянии. Мы определим направление 1, говоря, что оно смотрит в элемент поверхности dS_1 счетчика. Направление же 2 смотрит в элемент поверхности dS_2счетчика. (Считается, что счетчик представляет собой поверхность, поперечную к линии рассеяния.) Теперь уже нельзя говорить о вероятности того, что частица направится точно в каком-то направлении или в определенную точку пространства. Это невозможно — шанс зарегистрировать любое фиксированное направление равен нулю. Если уж нам хочется точности, то нужно так определить наши амплитуды, чтобы они давали вероятность попадания на единицу площади счетчика. Пусть у нас была бы только одна частица я; она бы имела определенную амплитуду рассеяния в направлении 1. Пусть<1|а>=a_1 определяется как амплитуда того, что а рассеется в единицу площади счетчика, расположенного в направлении 1. Иными словами, мы выбираем масштаб а_1и говорим, что она «нормирована» так, что вероятность того, что а рассеется в элемент площади dS_1равна

Если вся площадь нашего счетчика DS и мы заставим dS_1странствовать по этой площади, то полная вероятность того, что частица а рассеется в счетчик, будет

Как и прежде, мы хотим считать счетчик настолько малым, что амплитуда а_1на его поверхности не очень меняется; значит, а_1будет постоянным числом, и мы обозначим его через а. Тогда вероятность того, что частица а рассеялась куда-то в счетчик, равна

Таким же способом мы придем к выводу, что частица b (когда она одна) рассеивается в элемент площади dS_2с вероятностью

(Мы говорим dS_2, а не dS_1в расчете на то, что позже частицам а и b будет разрешено двигаться в разных направлениях.) Опять положим b_2 равным постоянной амплитуде b; тогда вероятность того, что частица b будет зарегистрирована счетчиком, равна

Когда же имеются две частицы, то вероятность рассеяния а в dS_1и b в dS_2будет

Если нам нужна вероятность того, что обе частицы (и а, и b) попали в счетчик, мы должны будем проинтегрировать dS_1 и dS_2по всей площади DS; получится

Заметим, кстати, что это равно просто ра·рbвточности так, как если бы мы предположили, что частицы а и b действуют независимо друг от друга.

Однако, когда две частицы тождественны, имеются две неразличимые возможности для каждой пары элементов поверхности dS_1и dS_2. Частица а, попадающая в dS_2, и частица b, попадающая в dS_1, неотличимы от а в dS_1и от b в dS_2, так что амплитуды этих процессов будут интерферировать. (Когда у нас были две различные частицы, то, хотя мы на самом деле не заботились о том, какая из них куда попадает в счетчике, мы все же в принципе могли это узнать; так что интерференции не было. А для тождественных частиц мы и в принципе не можем этого сделать.) Мы должны тогда написать, что вероятность того, что пара частиц очутится в dS_1и dS_2, есть

Однако сейчас, интегрируя по поверхности счетчика, нужно быть осторожным. Пустив dS_1и dS_2 странствовать по всей площади DS, мы бы сосчитали каждую часть площади дважды, поскольку в (2.13) входит все, что может случиться с каждой парой элементов поверхности dS_1и dS_2. Но интеграл можно все равно подсчитать, если учесть двукратный счет, разделив результат пополам. Тогда мы получим, что Р_2для тождественных бозе-частиц есть

И опять это ровно вдвое больше того, что мы получили в (2.12) для различимых частиц.

Если вообразить на мгновение, что мы откуда-то знали, что канал b уже послал свою частицу в своем направлении, то можно сказать, что вероятность того, что вторая частица направится в ту же сторону, вдвое больше того, чего можно было бы ожидать, если бы мы посчитали это событие независимым. Таково уж свойство бозе-частиц. что если есть одна частица в каких-то условиях, то вероятность поставить в те же условия вторую вдвое больше, чем если бы первой там не было. Этот факт часто формулируют так: если уже имеется одна бозе-частица в данном состоянии, то амплитуда того, что туда же, ей на голову, можно будет поместить вторую, в Ц2 раз больше, чем если бы первой там не было. (Это неподходящий способ формулировать результат с той физической точки зрения, какую мы избрали, но, если это правило последовательно применять, оно все же приводит к верному результату.)

§ 3. Состояния с n бозе-частицами

Распространим наш результат на тот случай, когда имеются n частиц. Вообразим случай, изображенный на фиг. 2.4.

Фиг. 2.4. Рассеяние n частиц в близкие конечные состояния.

Есть n частиц а, b, с, . . . , которые рассеиваются в направлениях 1, 2, 3, . . . , п. Все n направлений смотрят в небольшой счетчик, который стоит где-то поодаль. Как и в предыдущем параграфе, выберем нормировку всех амплитуд так, чтобы вероятность того, что каждая частица, действуя по отдельности, попадет в элемент поверхности dS счетчика, была равна

|< >|2dS.

Сперва предположим, что частицы все различимы, тогда вероятность того, что n частиц будут одновременно зарегистрированы в n разных элементах поверхности, будет равна

Опять примем, что амплитуды не зависят от того, где в счетчике расположен элемент dS (он считается малым), и обозначим их .просто а, b, с, .... Вероятность (2.15) обратится в

Прогоняя каждый элемент dS по всей поверхности DS счетчика, получаем, что Рn(разные) — вероятность одновременно зарегистрировать n разных частиц — равна

Это просто произведение вероятностей попаданий в счетчик каждой из частиц по отдельности. Все они действуют независимо — вероятность попасть для одной из них не зависит от того, сколько других туда попало.

Теперь предположим, что все эти частицы — идентичные бозе-частицы. Для каждой совокупности направлений 1, 2, 3, ... существует много неразличимых возможностей. Если бы, скажем, частиц было только три, появились бы следующие возможности:

Возникает шесть различных комбинаций. А если частиц n, то будет n!разных, хотя и не отличимых друг от друга, комбинаций; их амплитуды положено складывать. Вероятность того, что n частиц будут зарегистрированы в n элементах поверхности, тогда будет равна

│ a_1b_2c_3 …+ a_1b_3c_2 … + и т. д. +│2 dS_1 dS_2 dS_3... dSn. (2.18)

И снова мы предположим, что все направления столь близки друг к другу, что можно будет положить а_1=а_2= . . . . . . =аn=а и то же сделать с b, с, . . . ; вероятность (2.18) обратится в

|n!abc ... |2dS_1dS_2 ... dSn. (2.19)

Когда каждый элемент dS прогоняют по площади DS счетчика, то всякое мыслимое произведение элементов поверхности считается n!раз; учтем это, разделив на n!, и получим

или

Сравнивая это с (2.17), видим, что вероятность совместного счета n бозе-частиц в n!раз больше, чем получилось бы в предположении, что все частицы различимы. Все это можно подытожить так:

Итак, вероятность в случае бозе-частиц в n!раз больше, чем вы получили бы, считая, что частицы действовали независимо. Мы лучше поймем, что это значит, если спросим: чему равна вероятность того, что бозе-частица перейдет в некоторое состояние, в котором уже находятся n других частиц? Обозначим добавленную частицу буквой w. Если всего, включая w, имеется (n+1) частиц, то (2.20) обращается в

Это можно записать так:

или

Этот результат можно истолковать следующим образом. Число |w|2DS — это вероятность заполучить в счетчик частицу w, если никаких других частиц нет; Рn(бозе) — это шанс того, что там уже есть n других бозе-частиц. Значит, (2.23) говорит нам, что когда у нас уже есть n других идентичных друг другу бозе-частиц, то вероятность того, что еще одна частица придет в то же состояние, усиливается в (n+1) раз. Вероятность получить еще один бозон там, где уже есть их n штук, в (n+1) раз больше той, какая была бы, если бы там раньше ничего не было. Наличие других частиц увеличивает вероятность заполучить еще одну.

§ 4. Излучение и поглощение фотонов

Повсюду в наших рассуждениях шла речь о процессе, похожем на рассеяние a-частиц. Но это необязательно; можно было бы говорить и о создании частиц, например об излучении света. При излучении света «создается» фотон. В этом случае уже не нужны на фиг. 2.4 входящие линии; можно просто считать, что есть n атомов а, b, с, . . . , излучающих свет (фиг. 2.5).

Фиг. 2.5. Образование n фотонов в близких состояниях.

Значит, наш результат можно сформулировать и так: вероятность того, что атом излучит фотон в некотором конечном состоянии, увеличивается в (n+1) раз, если в этом состоянии уже есть n фотонов.

Многим больше нравится высказывать этот результат иначе; они говорят, что амплитуда испускания фотона увеличивается в Ц(п+1) раз, если уже имеется в наличии n фотонов. Разумеется, это просто другой способ сказать то же самое, если только иметь в виду, что эту амплитуду для получения вероятности надо просто возвести в квадрат.

В квантовой механике справедливо в общем случае утверждение о том, что амплитуда получения состояния cиз любого другого состояния j комплексно сопряжена амплитуде получения j из c

Мы разберемся в этом чуть позже, а пока просто предположим, что на самом деле это так. Тогда этим можно воспользоваться, чтобы понять, как фотоны рассеиваются или поглощаются из данного состояния. Мы знаем, что амплитуда того, что фотон прибавится к какому-то состоянию, скажем к i, вкотором уже находится n фотонов, равна

где а=<i|а> — амплитуда, когда нет других фотонов. Если воспользоваться формулой (2.24), то амплитуда обратного перехода — от (n+1) фотонов к n фотонам — равна

Но обычно говорят иначе; людям не нравится думать о переходе от (n+1) к n, они всегда предпочитают исходить из того, что имелось n фотонов. Поэтому говорят, что амплитуда поглощения фотона, если имеется n других, иными словами, перехода от n к (n-1), равна

<n-1|n>=Цna*. (2.27)

Это, разумеется, просто та же самая формула (2.26). Но тогда возникает новая забота — помнить, когда пишется Цn и когда Ц(n+1). Запомнить это можно так: множитель всегда равен корню квадратному из наибольшего числа имевшихся в наличии фотонов, все равно — до реакции или после. Уравнения (2.25) и (2.26) свидетельствуют о том, что закон на самом деле симметричен; несимметрично он выглядит лишь тогда, когда его записывают в виде (2.27).

Из этих новых правил проистекает множество физических следствий; мы хотим привести одно из них, касающееся испускания света. Представим случай, когда фотоны находятся в ящике,— можете вообразить, что ящик имеет зеркальные стенки. Пусть в этом ящике в одном и том же состоянии (с одними и теми же частотой, поляризацией и направлением) имеется n фотонов, так что их нельзя друг от друга отличить, и пусть в ящике имеется атом, который может испустить еще один фотон в таком же состоянии. Тогда вероятность того, что он испустит фотон, равна

(п+1)|a|2, (2.28)

а вероятность того, что он фотон поглотит, равна

n|а|2, (2.29)

где |а|2 — вероятность того, что он испустил бы фотон, если бы не было этих n фотонов. Мы уже говорили об этих правилах немного по-иному в гл. 42 (вып. 4). Выражение (2.29) утверждает, что вероятность того, что атом поглотит фотон и совершит переход в состояние с более высокой энергией, пропорциональна интенсивности света, освещающего его. Но, как впервые указал Эйнштейн, скорость, с которой атом переходит в более низкое энергетическое состояние, состоит из двух частей. Есть вероятность |а|2 того, что он совершит самопроизвольный переход, и есть вероятность вынужденного перехода n|а|2, пропорциональная интенсивности света, т. е. числу имеющихся фотонов. Далее, как заметил Эйнштейн, коэффициенты поглощения и вынужденного испускания равны между собой и связаны с вероятностью самопроизвольного испускания. Здесь же мы выяснили, что если интенсивность света измеряется количеством имеющихся фотонов (вместо того, чтобы пользоваться энергией в единице объема или в секунду), то коэффициенты поглощения, вынужденного испускания и самопроизвольного испускания все равны друг другу. В этом смысл соотношения между коэффициентами А и В, выведенного Эйнштейном [см. гл. 42 (вып. 4), соотношение (42.18)].

§ 5. Спектр абсолютно черного тела

Мы хотим теперь использовать наши правила для бозе-частиц, чтобы еще раз получить спектр излучения абсолютно черного тела [см. гл. 42 (вып. 4)]. Мы сделаем это, подсчитав, сколько фотонов содержится в ящике, если излучение находится в тепловом равновесии с атомами в ящике. Допустим, что каждой световой частоте со соответствует определенное количество N атомов с двумя энергетическими состояниями, отличающимися на энергию DЕ =hw (фиг. 2.6).

Фиг. 2.6. Излучение и поглощение фотона с частотой w.

Состояние с меньшей энергией мы назовем «основным», с большей — «возбужденным». Пусть Nосни Nвозб — средние числа атомов в основном и возбужденном состояниях; тогда для теплового равновесия при температуре Т из статистической механики следует

Каждый атом в основном состоянии может поглотить фотон и перейти в возбужденное состояние, и каждый атом в возбужденном состоянии может испустить фотон и перейти в основное состояние. При равновесии скорости этих двух процессов должны быть равны. Скорости пропорциональны вероятности событий и количеству имеющихся атомов. Пусть n — среднее число фотонов, находящихся в данном состоянии с частотой w. Тогда скорость поглощения из этого состояния есть Nocнn|а|2, а скорость испускания в это состояние есть Nвозб(n+1)|а|2, Приравнивая друг другу эти две скорости, мы получаем

Сопоставляя это с (2.30), имеем

Отсюда найдем

Это и есть среднее число фотонов в любом состоянии с частотой w при тепловом равновесии в полости. Поскольку энергия каждого фотона hw, то энергия фотонов в данном состоянии

есть nhw, или

Кстати говоря, мы уже получали подобное выражение в другой связи [см. гл. 41 (вып. 4), формула (41.15)]. Вспомните, что для гармонического осциллятора (скажем, грузика на пружинке) квантовомеханические уровни энергии находятся друг от друга на равных расстояниях hw, как показано на фиг. 2.7.

Фиг. 2.7. Уровни энергии гармонического осциллятора.

Обозначив энергию n-го уровня через nhw. мы получили, что средняя энергия такого осциллятора также давалась выражением (2.33). А сейчас это выражение было выведено для фотонов путем подсчета их числа и привело к тому же результату. Перед вами — одно из чудес квантовой механики. Если начать с рассмотрения таких состояний или таких условий для бозе-частиц, когда они друг с другом не взаимодействуют (мы ведь предположили, что фотоны не взаимодействуют друг с другом), а затем считать, что в эти состояния могут быть помещены нуль, или одна, или две и т. д. до n частиц, то оказывается, что эта система ведет себя во всех квантовомеханических отношениях в точности, как гармонический осциллятор. Таким осциллятором считается динамическая система наподобие грузика на пружинке или стоячей волны в резонансной полости. Вот почему можно представлять электромагнитное поле фотонными частицами. С одной точки зрения можно анализировать электромагнитное поле в ящике или полости в терминах множества гармонических осцилляторов, рассматривая каждый тип колебаний, согласно квантовой механике, как гармонический осциллятор. С другой, отличной точки зрения ту же физику можно анализировать в терминах тождественных бозе-частиц. И итоги обоих способов рассуждений всегда точно совпадают. Невозможно установить, следует ли на самом деле электромагнитное поле описывать в виде квантуемого гармонического осциллятора или же задавать количество фотонов в каждом состоянии. Оба взгляда на вещи оказываются математически тождественными. В будущем мы сможем с равным правом говорить либо о числе фотонов в некотором состоянии в ящике, либо о номере уровня энергии, связанного с некоторым типом колебаний электромагнитного поля. Это два способа говорить об одном и том же. То же относится и к фотонам в пустом пространстве. Они эквивалентны колебаниям полости, стенки которой отошли на бесконечность.

Мы подсчитали среднюю энергию произвольного частного типа колебаний в ящике при температуре T; чтобы получить закон излучения абсолютно черного тела, остается узнать только одно: сколько типов колебаний бывает при каждой энергии. (Мы предполагаем, что для каждого типа колебаний найдутся такие атомы в ящике — или в его стенках,— у которых есть Уровни энергии, способные приводить к излучению этого типа колебаний, так что каждый тип может прийти в тепловое равновесие.) Закон излучения абсолютно черного тела обычно формулируют, указывая, сколько энергии в единице объема уносится светом в малом интервале частот от со до w+Dw. Так что нам нужно знать, сколько типов колебаний с частотой в интервале Dw имеется в ящике. Хотя вопрос этот то и дело возникает в квантовой механике, это все же чисто классический вопрос, касающийся стоячих волн.

Ответ мы получим только для прямоугольного ящика. Для произвольного ящика выходит то же, только выкладки куда сложней. Нас еще будет интересовать ящик, размеры которого намного больше длины световых волн. В этом случае типов колебаний будет мириады и мириады; в каждом малом интервале частот Dw их окажется очень много, так что можно будет говорить об их «среднем числе» в каждом интервале Dw при частоте to. Начнем с того, что спросим себя, сколько типов колебаний бывает в одномерном случае — у волн в натянутой струне. Вы знаете, что каждый тип колебаний — это синусоида, кривая, обращающаяся на обоих концах в нуль; иначе говоря, на всей длине линии (фиг. 2.8) должно укладываться целое число полуволн.

Фиг. 2.8. Типы стоячих волн на отрезке.

Мы предпочитаем пользоваться волновым числом k=2p/l; обозначая волновое число j-го типа колебаний через kj, получаем

где j — целое. Промежуток dk между последовательными типами равен

Нам удобно выбрать столь большое kL, что в малом интервале Dk; оказывается множество типов колебаний.

Обозначив число типов колебаний в интервале Dk через, имеем

Физики-теоретики, занимающиеся квантовой механикой, обычно предпочитают говорить, что типов колебаний вдвое меньше; они пишут

И вот почему. Им обычно больше нравится мыслить на языке бегущих волн — идущих направо (с k положительными) и идущих налево (с k отрицательными). Но «тип колебаний», или «собственное колебание»,— это стоячая волна, т. е. сумма двух волн, бегущих каждая в своем направлении. Иными словами, они считают, что каждая стоячая волна включает два различных фотонных «состояния». Поэтому если предпочесть под подразумевать число фотонных состояний с данным k (где теперь уже k может быть и положительным, и отрицательным), то тогда окажется вдвое меньше. (Все интегралы теперь нужно будет брать от k=-Ґ до k =+Ґ, и общее число состояний вплоть до любого заданного абсолютного значения k получится таким, как надо.) Конечно, стоячие волны мы тогда не сможем хорошо описывать, но подсчет типов колебаний будет идти согласованно.

Теперь наши результаты мы обобщим на три измерения. Стоячая волна в прямоугольном ящике должна обладать целым числом полуволн вдоль каждой оси. Случай двух измерений дан на фиг. 2.9.

Фиг. 2.9. Типы стоячих волн в двух измерениях.

Каждое направление и частота волны описываются вектором волнового числа k. Его х-, у- и z-компоненты должны удовлетворять уравнениям типа (2.34). Стало быть, мы имеем

Число типов колебаний с kxв интервале Dkx, как и прежде, равно

то же и с Dky, и с Dkz. Если обозначить через (k) число таких типов колебаний, в которых векторное волновое число k обладает х-компонентой в интервале от kxдо kx+Dkx, у-компонентой в интервале от kyдо ky+Dky и z-компонентой в интервале от kzдо. kz +Dkz, то

Произведение Lx Ly Lz — это объем V ящика. Итак, мы пришли к важному результату, что для высоких частот (длин волн, меньших, чем габариты полости) число мод (типов колебаний) в полости пропорционально ее объему V и «объему в k-пространстве» DkхDkyDkz. Этот результат то и дело появляется то в одной, то в другой задаче, и его стоит запомнить:

Хоть мы этого и не доказали, результат не зависит от формы

ящика.

Теперь мы применим этот результат для того, чтобы найти число фотонных мод для фотонов с частотами в интервале Dw. Нас интересует всего-навсего энергия разных собственных колебаний, а не направления самих волн. Мы хотим знать число собственных колебаний в данном интервале частот. В вакууме величина k связана с частотой формулой

|k| =w/c. (2.39)

Значит, в интервал частот Dw попадают все моды, отвечающие векторам k, величина которых меняется от k до k+Dk независимо от направления. «Объем в k-пространстве» между k и k+Dk — это сферический слой, объем которого равен

4pk^2Dk.

Количество собственных колебаний (мод) тогда равно

Однако раз нас интересуют частоты, то надо подставить k=w/c, и мы получаем

Но здесь возникает одно усложнение. Если мы говорим о собственных колебаниях электромагнитной волны, то каждому данному волновому вектору k может соответствовать любая из двух поляризаций (перпендикулярных друг другу). Поскольку эти собственные колебания независимы, то нужно (для света) удвоить их число. И мы имеем

Мы показали уже [см. (2.33)], что каждое собственное колебание (мода, тип колебаний, «состояние») обладает в среднем

энергией

Умножая это на число собственных колебаний, мы получаем энергию DЕ. которой обладают собственные колебания лежащие в интервале Dw

Это и есть закон для спектра частот излучения абсолютно черного тела, найденный нами уже однажды в гл. 41 (вып. 4). Спектр этот вычерчен на фиг. 2.10.

Фиг. 2.10. Спектр частот излучения в полости при тепловом равновесии (спектр «абсолютно черного тела»).

На оси ординат отложена величина

отличающаяся от dE/dw постоянным множителем

Вы теперь видите, что ответ зависит от того факта, что фотоны являются бозе-частицами — частицами, имеющими тенденцию собираться всем вместе в одном и том же состоянии (амплитуда такого поведения велика). Бы помните, что именно Планк, изучавший спектр абсолютно черного тела (который представлял загадку для классической физики) и открывший формулу (2.43), положил тем самым начало квантовой механике.

§ 6. Жидкий гелий

Жидкий гелий при низких температурах обладает рядом странных свойств, на подробное описание которых у нас, к сожалению, не хватает времени. Многие из них просто связаны с тем, что атом гелия — это бозе-частица. Одно из этих свойств— жидкий гелий течет без какого бы то ни было вязкого сопротивления. Это в действительности та самая «сухая» вода, о которой мы говорили в одной из прежних глав (при условии, что скорости достаточно низки). Причина здесь вот в чем. Чтобы жидкость обладала вязкостью, в ней должны быть внутренние потери энергии; надо, чтобы одна из частей жидкости могла двигаться не так, как оставшаяся жидкость. Это означает, что должна быть возможность выбивать некоторые атомы в состояния, отличные от тех, в которых пребывают другие атомы. Но при достаточно низких температурах, когда тепловое движение становится очень слабым, все атомы стремятся попасть в одни и те же условия. Так, если некоторые из них движутся в одну сторону, то и все атомы пытаются двигаться все вместе таким же образом. Это своего рода жесткость по отношению к движению, и такое движение трудно разбить на неправильные турбулентные части, как это было бы, скажем, с независимыми частицами. Итак, в жидкости бозе-частиц есть сильное стремление к тому, чтобы все атомы перешли в одно состояние,— стремление, представляемое множителем Ц(n+1), полученным нами ранее. (А в бутылке жидкого гелия n, конечно, очень большое число!) Это движение не происходит при высоких температурах, потому что тогда тепловой энергии хватает на то, чтобы перевести разные атомы во всевозможные различные высшие состояния. Но при достаточном понижении температуры внезапно наступает момент, когда все атомы гелия стремятся оказаться в одном и том же состоянии. Гелий становится сверхтекучим. Кстати, это явление возникает лишь у изотопа гелия с атомным весом 4. Отдельные атомы изотопа гелия с атомным весом 3 суть ферми-частицы, и жидкость здесь самая обычная. Поскольку сверхтекучесть бывает лишь у Не^4, то со всей очевидностью этот эффект квантовомеханический, вызываемый бозевской природой a-частицы.

§ 7. Принцип запрета

Ферми-частицы ведут себя совершенно иначе. Посмотрим, что произойдет, если мы попытаемся поместить две ферми-частицы в одно и то же состояние. Вернемся к нашему первоначальному примеру и поинтересуемся амплитудой того, что две идентичные ферми-частицы рассеются в почти одинаковом направлении. Амплитуда того, что частица а пойдет в направлении 1, а частица b — в направлении 2, есть

<1|a>.<2|b>,

тогда как амплитуда того, что направления вылетающих частиц обменяются местами, такова:

<2|а><1|b>.

Раз мы имеем дело с ферми-частицами, то амплитуда процесса является разностью этих двух амплитуд:

<1|а><2|b>-<2|а><1|b>. (2.44)

Следует сказать, что под «направлением 1» мы подразумеваем, что частица обладает не только определенным направлением, но и заданным направлением своего спина, а «направление 2» почти совпадает с направлением 1 и отвечает тому же направлению спина. Тогда <1|а> и <2|а> будут примерно равны. (Этого могло бы и не быть, если бы состояния 1 и 2 вылетающих частиц не обладали одинаковым спином, потому что тогда по каким-то причинам могло бы оказаться, что амплитуда зависит от направления спина.) Если теперь позволить направлениям 1 и 2 сблизиться друг с другом, то полная амплитуда в уравнении (2.44) станет равной нулю. Для ферми-частиц результат много проще, чем для бозе-частиц. Просто абсолютно невозможно, чтобы две ферми-частицы, например два электрона, оказались в одинаковом состоянии. Вы никогда не обнаружите два электрона в одинаковом положении и со спинами, направленными в одну сторону. Двум электронам невозможно иметь один и тот же импульс и одно и то же направление спина. Если они оказываются в одном и том же месте или в одном и том же состоянии движения, то единственное, что им остается,— это завертеться навстречу друг другу.

Каковы следствия этого? Имеется множество замечательных эффектов, проистекающих из того факта, что две ферми-частицы не могут попасть в одно и то же состояние. На самом деле почти все особенности материального мира зависят от этого изумительного факта. Все разнообразие, представленное в периодической таблице элементов, в основе своей является следствием только этого правила.

Конечно, мы не можем сказать, на что был бы похож мир, если бы это правило — и только оно одно — изменилось; ведь оно является частью всей структуры квантовой механики, и невозможно сказать, что бы еще изменилось, если бы правило, касающееся ферми-частиц, стало бы другим. Но все же попробуем представить себе, что случилось бы, если бы переменилось только это правило. Во-первых, можно показать, что каждый атом остался бы более или менее неизменным. Начнем с атома водорода. Он заметно не изменился бы. Протон ядра был бы окружен сферически симметричным электронным облаком (фиг. 2.11, а).

Фиг. 2.11. Так могли бы выглядеть атомы, если бы электроны вели себя как бозе-частицы.

Как мы уже писали в гл. 38 (вып. 3), хоть электрон и притягивается к центру, принцип неопределенности требует, чтобы было равновесие между концентрацией в пространстве и концентрацией по импульсу. Равновесие означает, что распределение электронов должно характеризоваться определенной энергией и протяженностью, определяющими характеристические размеры атома водорода.

Пусть теперь имеется ядро с двумя единицами заряда, например ядро гелия. Это ядро будет притягивать два электрона, и, будь они бозе-частицами, они бы, если не считать их электрического отталкивания, сплотились близ ядра как можно тесней. Атом гелия выглядел бы так, как на фиг. 2.11, б. Точно так же и атом лития, у которого ядро заряжено трехкратно, обладал бы электронным распределением, похожим на то, что изображено на фиг. 2.11, в. Каждый атом выглядел бы более или менее, как раньше: круглый шарик, все электроны в котором сидят близ ядра; не было бы никаких выделенных направлений и никаких сложностей.

Но из-за того, что электроны — это ферми-частицы, действительное положение вещей совершенно иное. Для атома водорода оно в общем-то не меняется. Единственное отличие в том, что у электрона есть спин (показан на фиг. 2.12, а стрелочкой).

Фиг. 2.12. Атомные конфигурации, для настоящих, фермиевского типа электронов со спином. 1/2.

В случае же атома гелия мы уже не сможем посадить один из электронов на другой. Впрочем, погодите, это верно лишь тогда, когда их спины направлены одинаково. Но если они разведут свои спины врозь, то они уже будут вправе занять одно и то же место. Так что атом гелия тоже не очень-то изменится. Он будет выглядеть так, как показано на фиг. 2.12, б. А вот для лития положение вещей совершенно изменится. Куда сможем мы пристроить третий электрон? Его нельзя посадить прямо на первые два, потому что оба направления спина заняты. (Вы помните, что и у электрона, и у любой частицы со спином 1/2 имеются лишь два допустимых направления спина.) Третий электрон не сможет приблизиться к месту, оккупированному двумя другими, он обязан занять особое положение в каком-то ином состоянии, намного дальше от ядра (фиг. 2.12, в). (Мы здесь говорим обо всем довольно грубо, потому что на самом-то деле все три электрона тождественны, а раз мы не можем в действительности разобраться, кто из них кто, то наш рисунок верен только в общих чертах.)

Теперь мы уже начинаем понимать, отчего у разных атомов бывают разные химические свойства. Из-за того, что третий электрон в литии намного дальше, он связан несравненно слабее. Увести один электрон у лития куда легче, чем у гелия. (Опыт говорит, что для ионизации гелия нужно 25 в, а для ионизации лития лишь 5 в.) Это отражается на валентности атома лития. Свойства валентности, касающиеся направлений, связаны с волновой картиной внешнего электрона, но мы не будем сейчас входить в подробности. Становится понятной важность так называемого принципа запрета, утверждающего, что никакие два электрона не могут оказаться в точности в одном и том же состоянии (включая спин).

Принцип запрета несет также ответственность за крупномасштабную стабильность вещества. Мы раньше уже объясняли, что отдельные атомы вещества не обваливаются благодаря принципу неопределенности, тогда можно понять, почему не бывает так, чтобы два атома водорода прижались друг к другу сколь угодно тесно, почему все протоны не могут сойтись вплотную, образовав вокруг себя электронную тучу. Ответ, конечно, состоит в том, что поскольку в одном месте может находиться не более двух электронов с противоположными спинами, то атомы водорода вынуждены держаться поодаль друг от друга. Так что крупномасштабная стабильность вещества на самом деле есть следствие того, что электроны — это ферми-частицы. Конечно, если у двух атомов спины внешних электронов направлены в противоположные стороны, то они могут оказаться вплотную друг к другу. Именно так и возникает химическая связь. Оказывается, что два рядом стоящих атома обладают меньшей энергией, если между ними стоит электрон. Это своего рода электрическое притяжение двух положительных ядер к электрону между ними. Можно поместить пару электронов — коль скоро их спины противоположны — примерно посредине между двумя ядрами, и так возникает самая сильная из химических связей. Более сильной связи не бывает, потому что принцип запрета не позволит, чтобы в пространстве между атомами оказалось больше двух электронов. Считается, что молекула водорода выглядит примерно так, как изображено на фиг. 2.13.

Фиг. 2.13. Молекула водорода.

Хочется сказать еще об одном следствии из принципа запрета. Вы помните, что если оба электрона в атоме гелия хотят оказаться поближе к ядру, то их спины обязательно должны смотреть навстречу друг другу. Допустим теперь, что нам бы захотелось расположить поблизости друг от друга два электрона с одним и тем же спином, скажем, приложив столь фантастически сильное магнитное поле, что спины выстроились бы в одну сторону. Но тогда два электрона не смогут занять одного положения в пространстве. Один из них вынужден будет занять другую геометрическую позицию (фиг. 2.14).

фиг. 2.14. Гелий с одним электроном в высшем энергетическом состоянии.

Более удаленный от ядра электрон будет обладать меньшей энергией связи. Поэтому энергия всего атома станет чуть выше. Иными словами, если два спина противоположны, то это приводит к намного более сильному взаимному притяжению.

Стало быть, существует взаимодействие, стремящееся расположить спины навстречу друг другу, когда электроны сближаются. Если два электрона пытаются попасть в одно и то же место, то спины стремятся выстроиться навстречу друг другу. Эта кажущаяся сила, стремящаяся ориентировать спины в разные стороны, намного мощнее слабеньких сил, действующих между магнитными моментами двух электронов. Вы помните, что, когда мы толковали о ферромагнетизме, возникала загадка, отчего это электроны в разных атомах имеют столь сильную тенденцию выстраиваться параллельно. Хотя здесь еще нет количественного объяснения, но уже можно поверить в следующий процесс: электроны, окружающие один из атомов, взаимодействуют при помощи принципа запрета с внешними электронами, которые высвободились и бродят по кристаллу. Это взаимодействие заставляет спины свободных электронов и внутренних электронов принимать противоположные направления. Но свободные электроны и внутриатомные электроны могут выстроиться противоположно лишь при условии, что у всех внутренних электронов спины направлены одинаково (фиг. 2.15).

Фиг. 2.I5. Вероятный механизм, действующий в ферромагнитном кристалле. Спины электронов проводимости устанавливаются антипараллельно спинам неспаренных внутренних электронов.

Кажется весьма вероятным, что именно влияние принципа запрета, действующего косвенно через свободные электроны, кладет начало большим выстраивающим силам, ответственным за ферромагнетизм.

Упомянем еще один пример влияния принципа запрета. Мы уже говорили ранее, что ядерные силы, действующие между нейтроном и протоном, между протоном и протоном и между нейтроном и нейтроном, одинаковы. Почему же так получается, что протон с нейтроном могут пристать друг к другу, образовав ядро дейтерия, а вот ядер просто с двумя протонами или просто с двумя нейтронами не существует? Действительно, дейтрон связан энергией около 2,2 Мэв, а соответствующей связи между парой протонов, которая бы создала изотоп гелия с атомным весом 2, не существует. Таких ядер не бывает. Комбинация двух протонов не дает связанного состояния.

Ответ складывается из двух эффектов: во-первых, из принципа запрета; во-вторых, из того факта, что ядерные силы довольно чувствительны к направлению спина. Силы, действующие между нейтроном и протоном,—это силы притяжения; они чуть больше, когда спины параллельны, и чуть меньше, когда они направлены противоположно. Оказывается, что различие между этими силами достаточно велико, чтобы дейтрон возникал лишь в том случае, когда спины нейтрона и протона параллельны, а когда спины противоположны, то притяжения не хватает на то, чтобы связать частицы воедино. Поскольку спины нейтрона и протона каждый равен 1/2и направлены они в одну сторону, то спин дейтрона равен единице. Мы знаем, однако, что двум протонам не разрешается сидеть друг на друге, если их спины параллельны. Если бы не было принципа запрета, два протона были бы связаны. Но раз они не могут существовать в одном месте и с одним и тем же направлением спина, ядра Не^2 не существует. Протоны с противоположными спинами могли бы сойтись, но тогда им не хватило бы энергии связи для образования стабильного ядра, потому что ядерные силы при противоположных спинах чересчур слабы, чтобы связать пару нуклонов. В том, что силы притяжения между нейтронами и протонами с противоположными спинами существуют, можно убедиться из опытов по рассеянию. Сходные же опыты по рассеянию двух протонов с параллельными спинами показывают, что и между ними существует притяжение. Итак, принцип запрета помогает нам понять, почему дейтерий может существовать, а Не^2 нет.

* Перестановка dS_1 и dS_2 в (2.11) приводит к другому событию, так что оба элемента поверхности обязаны пройтись по всей площади счетчика. В (2.13) мы рассматриваем dS_1 и dS_2 как пару и включаем все, что может случиться. Если интегралы опять включают все, что случится, когда dS_1 и dS_2 поменяются местами, то все считается дважды.

Глава 3

СПИН ЕДИНИЦА

§ 1.Фильтровка атомов при помощи прибора Штерна — Герлаха

§ 2.Опыты с профильтрованными атомами

§ 3. Последовательно соединенные фильтры Штерна — Герлаха

§ 4. Базисные состояния

§ 5. Интерферирующие амплитуды

§ 6. Механика квантовой механики

§ 7. Преобразование к другому базису

§ 8. Другие случаи

Повторить: гл. 35 (вып. 7) «Парамагнетизм и магнитный резонанс»

§ 1. Фильтровка атомов при помощи прибора Штерна — Герлаха

В этой главе мы начнем изучать квантовую механику по-настоящему — в том смысле, что мы собираемся теперь описывать квантовомеханическое явление полностью с квантовомеханической точки зрения. Мы не будем искать объяснений в классической механике или пытаться установить с ней связь. Мы хотим говорить на новом языке о чем-то новом. Частный случай, с которого мы начнем, это поведение квантованного момента количества движения для частицы со спином 1. Но мы не хотим употреблять такие слова, как «момент количества движения» или другие понятия классической механики, мы несколько отложим их обсуждение. Мы избрали этот частный случай лишь потому, что он достаточно прост, хотя и не самый простой из всех. Он достаточно сложен для того, чтобы служить образцом, который можно будет обобщить для описания всех квантовомеханических явлений. Стало быть, хотя мы будем иметь дело лишь с частным примером, все законы, которые мы упомянем, могут быть немедленно обобщены; мы так и сделаем, чтобы вам стали ясны общие черты квантовомеханического описания.

Начнем с явления расщепления пучка атомов на три отдельных пучка в опыте Штерна — Герлаха. Вы помните, что если имеется неоднородное магнитное поле, созданное магнитом с острым полюсным наконечником, и если через прибор пропустить пучок частиц, то этот пучок может расщепиться на несколько пучков; их количество зависит от сорта атома и его состояния. Мы разберем случай, когда атом расщепляется на три пучка; такую частицу мы будем называть частицей со спином 1. Вы сможете потом сами разобрать случай пяти пучков, семи пучков, двух и т. д. Вам придется попросту все скопировать, но там, где у нас были три члена, у вас окажется пять, семь, два и т. д. Представьте себе прибор, схематически начерченный на фиг. 3.1.

Фиг. 3.1. В опыте Штерна—Герлаха атомы со спином 1 расщепляются на три пучка.

Пучок атомов (или любых частиц) коллимирован (ограничен) какими-то прорезями и проходит сквозь неоднородное поле. Пусть пучок движется по оси y, а магнитное поле и его градиент направлены по оси z. Тогда, глядя со стороны, мы увидим, как пучок расщепляется по вертикали на три пучка. На выходном конце магнит можно поставить Небольшие счетчики, подсчитывающие скорость появления частиц в том или ином из трех пучков. Или можно перекрыть два пучка и пропускать только третий.

Предположим, что мы перекрыли два нижних пучка, а самый верхний пропустили, введя его во второй прибор Штерна — Герлаха такого же типа (фиг. 3.2).

Фиг. 3.2. Атомы одного из пучков посланы в другой такой же прибор.

Что произойдет? Во втором приборе уже не будет трех пучков; там останется только верхний пучок (мы предполагаем, что угол отклонения очень мал). Если считать второй прибор простым продолжением первого, то те атомы, которые в первый раз отклонялись вверх, продолжают отклоняться вверх и вторым магнитом.

Вы видите, что первый прибор создал пучок «очищенных» объектов — атомов, которые отклонились вверх в некотором неоднородном поле. Те атомы, которые входят в первоначальный прибор Штерна — Герлаха, суть атомы трех «разновидностей», или три copтa выбирают разные траектории. Отфильтровывая одну-единственную разновидность, можно создать такой пучок, будущее поведение которого в приборе того же типа вполне определено и предсказуемо. Такой пучок мы назовем отфильтрованным, или поляризованным, в этом пучке все атомы находятся в определенном состоянии.

В дальнейшем будет удобнее рассматривать слегка видоизмененный прибор Штерна — Герлаха. На первый взгляд он выглядит сложнее, но на самом деле упрощает все рассуждения. Впрочем, раз мы будем делать только «мысленные эксперименты», усложнение оборудования не будет стоить нам ни гроша, (Заметим, кстати, что никто никогда всех этих экспериментов точно таким образом не ставил, а мы тем не менее знаем, что в них произойдет. Мы это знаем из законов квантовой механики, которые, конечно, основаны на других сходных экспериментах. Эти другие эксперименты вначале труднее понять, и мы предпочитаем описывать какие-то идеализированные, но мыслимые эксперименты.)

На фиг. 3.3, «изображен чертеж «усовершенствованного прибора Штерна — Герлаха», которым мы и будем пользоваться.

Фиг. 3.3. Воображаемое видоизменение прибора Штерна — Герлаха (а) и пути атомов со спином 1 (б)

Он состоит из последовательности трех магнитов с сильным градиентом ноля. Первый (левый) — это обычный магнит Штерна — Герлаха. Он разделяет падающий пучок частиц со спином 1 на три отдельных пучка. Второй магнит имеет то же сечение, что и первый, но он вдвое длиннее и полярность его магнитного поля противоположна полю в первом магните. Второй магнит отталкивает атомные магнитики в обратную сторону и искривляет их пути снова к оси, как показано на траекториях, начерченных на фиг. 3.3, б. Третий магнит в точности похож на первый; он сводит три пучка снова в одно место и выпускает их через выходное отверстие вдоль оси. Наконец, надо представить себе, что перед отверстием в А имеется какой-то механизм, который разгоняет атомы из состояния покоя, а после выходного отверстия в В имеется замедляющий механизм, который опять приводит атомы в В в состояние покоя. Это несущественно, но это все же будет означать, что в нашем анализе нам не придется заботиться об учете каких-либо эффектов движения, когда атомы выходят, и можно будет сосредоточиться на тех вопросах, которые связаны только со спином.

Все назначение «усовершенствованного» прибора в том и состоит, чтобы свести все частицы в одно и то же место, где они имели бы нулевую скорость.

Если мы хотим теперь провести опыт наподобие показанного на фиг. 3.2, то для начала нужно будет получить отфильтрованный пучок, вставив внутрь прибора пластинку, которая загородит два пучка (фиг. 3.4).

Фиг. 3.4. «Усовершенствованный» прибор Штерна—Герлаха в качестве фильтра.

Если теперь пропустить полученные поляризованные атомы через второй такой же прибор, то все атомы изберут верхний путь; в этом можно убедиться, поставив такие же пластинки на пути различных пучков во втором фильтре и наблюдая, пройдут ли частицы насквозь.

Обозначим первый прибор буквой S. (Мы собираемся рассматривать всевозможные сочетания приборов, и, чтобы не путаться, мы дадим каждому свое имя.) Об атомах, которые избрали в S верхний путь, мы скажем, что они находятся в «плюс-состоянии по отношению к S»; о тех, которые пошли по среднему пути,— что они «в нуль-состоянии по отношению к S», и о тех, которые выбрали нижний путь,— что они в «минус-состоянии по отношению к S». (На более привычном языке мы бы сказали, что z-компонента момента количества движения равна +1h. 0 и -1h, но сейчас мы отказались от этого языка.) На фиг. 3.4 второй прибор ориентирован точно так же, как первый, так что отфильтрованные атомы все пойдут по верхнему пути. А если бы в первом приборе загородить верхний и нижний пучки и пропустить только находящиеся в нуль-состоянии, то все отфильтрованные атомы прошли бы через среднюю часть второго прибора. И наконец, если бы загородить в первом приборе все пучки, кроме нижнего, то во втором был бы только нижний пучок. Можно сказать, что в любом случае первый прибор создает отфильтрованный пучок в чистом состоянии по отношению к S (+, 0 или -), и мы всегда можем испытать, какое именно состояние он создает, пропустив атомы через второй такой же прибор.

Можно и второй прибор устроить так, чтобы он пропускал атомы только в одном определенном состоянии. Для этого нужно поставить внутри него перегородки так, как мы это делали в первом приборе, и тогда можно будет проверять состояние падающего пучка, просто глядя, вышло ли что-нибудь из дальнего конца. Например, если загородить два нижних пути во втором приборе, то все атомы выйдут наружу; если же загородить верхний, то не пройдет ничего.

Чтобы облегчить подобные рассуждения, мы сейчас придумаем сокращенное изображение наших усовершенствованных приборов Штерна — Герлаха. Вместо каждого такого прибора мы будем ставить символ

(Этот символ вы не встретите в квантовой механике; мы попросту выдумали его для этой главы. Он означает просто сокращенное изображение прибора, показанного на фиг. 3.3.) Поскольку мы I собираемся пользоваться несколькими приборами одновременно, имеющими к тому же разную ориентацию, то каждый из них мы будем отмечать буквой внизу. Так, символ (3.1) обозначает прибор S. Загораживая внутри один или больше пучков, мы будем отмечать это вертикальными чертами, показывающими, какой из пучков перекрыт, наподобие

Различные мыслимые комбинации собраны на фиг. 3.5.

Фиг. 3.5. Специальные сокращенные обозначения для фильтров типа Штерна — Герлаха.

Если два фильтра стоят друг за другом (как на фиг. 3.4), мы и символы будем ставить друг за другом:

При таком расположении все, что прошло через первый фильтр, пройдет и через второй. В самом деле, даже если мы перекроем каналы «нуль» и «минус» второго прибора, так что будет

все равно прохождение через второй прибор будет 100%-ным. Но если имеется

то из дальнего конца не выйдет ничего. Равным образом ничего не выйдет и при

С другой стороны,

было бы просто эквивалентно одному только

Теперь мы хотим описать эти опыты квантовомеханически. Мы скажем, что атом находится в состоянии (+S), если он прошел через прибор, изображенный на фиг, 3.5,б, что он находится в состоянии (0S), если прошёл сквозь прибор на фиг. 3.5, в, и что он находится в состоянии (-S), если прошел сквозь прибор на фиг. 3.5, г. Затем пусть <b|a> будет амплитуда того, что атом, который находится в состояний а, пройдя через прибор, окажется в состоянии b. Можно сказать <b|а> есть амплитуда для атома в состоянии а перейти в состояние b. Опыт (3.4) означает, что

<+S|+S>=1,

а (3.5) — что

<-S|+S>=0.

Точно так же и результат (3.6) означает, что

<+ S|-S>=0,

а (3.7)— что

<-S|-S>=1.

Пока мы имеем дело только с «чистыми» состояниями, т. е. пока бывает открыт только один канал, таких амплитуд — всего девять. Их можно перечислить в следующей таблице:

Эта совокупность девяти чисел, именуемая матрицей, подытоживает описанные нами явления.

§ 2. Опыты с профильтрованными атомами

Теперь возникает важный вопрос: что будет, если второй

прибор наклонить под некоторым углом, так чтобы ось его поля больше не была параллельной оси первого? Его можно не только наклонить, но и направить в другую сторону, например повернуть пучок поперек. Вначале для простоты возьмем такое расположение, при котором второй прибор Штерна — Герлаха повернут вокруг оси у на угол а (фиг. 3.6).

Фиг. 3.6. Два последовательно соединенных фильтра типа Штерна — Герлаха.

Второй повернут, относительно первого на угол a.

Такой прибор мы обозначим буквой Т. Пусть мы теперь предприняли следующий опыт:

или такой опыт:

Что в этих случаях выйдет из дальнего конца?

Ответ таков. Если атомы по отношению к S находятся в определенном состоянии, то по отношению к Т они не находятся в том же состоянии, состояние (+S) не является также и состоянием (+T). Однако имеется определенная амплитуда обнаружить атом в состоянии (+Т), или в состоянии (О Т), или в состоянии (-Т).

Иными словами, как бы досконально мы ни убедились, что наши атомы находятся в определенном состоянии, факт остается фактом, что, когда такой атом проходит через прибор, наклоненный под другим углом, он вынужден, так сказать, «переориентироваться» (что происходит, не забывайте, по законам случая). Если пропускать в каждый момент по одной частице, то вопрос можно будет ставить только таким образом: какова вероятность того, что она пройдет насквозь? Некоторые прошедшие сквозь S атомы очутятся в конце в состоянии (+Т), другие — в состоянии (0Т), третьи — в состоянии (-Т), и каждому состоянию отвечает своя вероятность. Эти вероятности можно вычислить, зная квадраты модулей комплексных амплитуд; нам нужен математический метод для этих амплитуд, их квантовомеханическое описание. Нам нужно знать, чему равны различные величины типа

<-T+S>;

под этими выражениями мы подразумеваем амплитуду того, что атом, первоначально бывший в состоянии (+S), может перейти в состояние (-Т) (что не равно нулю, если только S и Г не параллельны друг другу). Имеются и другие амплитуды, например

<+T|0S> или <0T|-S> и т. д.

Таких амплитуд на самом деле девять — это тоже матрица, и теория должна сообщить нам, как их вычислять. Подобно тому как F = ma сообщает нам, как подсчитать, что бывает в любых обстоятельствах с классической частицей, точно так же и законы квантовой механики позволяют нам определять амплитуду того, что частица пройдет через такой-то прибор. Центральный вопрос тогда заключается в том, как сосчитать для каждого данного угла а или вообще для какой угодно ориентации девять амплитуд:

Некоторые соотношения между этими амплитудами мы сразу можем себе представить. Во-первых, согласно нашим определениям, квадрат модуля

— это вероятность того, что атом, бывший в состоянии ( +S), придет в состояние (+Т). Такие квадраты удобнее писать в эквивалентном виде

В тех же обозначениях число

дает вероятность того, что частица в состоянии (+S) перейдет в состояние (0T), а

— вероятность того, что она перейдет в состояние (-Т). Но наши приборы устроены так, что каждый атом, входящий в прибор Т, должен быть найден в каком-то одном из трех состояний прибора Т',— атомам данного сорта нет других путей. Стало быть, сумма трех только что написанных вероятностей должна равняться единице. Получается соотношение

Имеются, конечно, еще два таких же уравнения для случаев, когда вначале было состояние (0S) или (-S). Их очень легко написать, так что мы переходим к другим общим вопросам.

§ 3. Последовательно соединенные фильтры Штерна — Герлаха

Пусть у нас есть атомы, отфильтрованные в состояние (+S), которые мы затем пропустили через второй фильтр, переведя, скажем, в состояние (О Т), а затем — через другой фильтр (+S). (Обозначим его S', чтобы не путать с первым фильтром S.) Вспомнят ли атомы, что они уже раз были в состоянии (+S)? Иначе говоря, мы ставим такой опыт:

и хотим знать, все ли атомы, прошедшие сквозь Т, пройдут и сквозь S'. Нет. Как только они пройдут фильтр Т, они сразу же позабудут о том, что, входя в Т, они были в состоянии (+S). Заметьте, что второй прибор S в (3.11) ориентирован в точности так же, как первый, так что это по-прежнему фильтр типа S. Состояния, выделяемые фильтром S',— это, конечно, все те же (+S), (0S) и (-S).

Здесь существенно вот что: если фильтр Т пропускает только один пучок, то та доля, пучка, которая проходит через второй фильтр S, зависит только от расположения фильтра Т и совершенно не зависит от того, что было перед ним. Тот факт, что те же самые атомы однажды уже были отсортированы фильтром S, никак и ни в чем не влияет на то, что они будут делать после того, как прибор Т снова отсортирует их в чистый пучок. Отсюда следует, что вероятность перейти в те или иные состояния для них одна и та же безотносительно к тому, что с ними случалось до того, как они угодили в прибор Т, Для примера сравним опыт (3.11) с опытом

в котором изменилось только первое S. Пусть, скажем, угол a (между S и Т) таков, что в опыте (3.11) треть атомов, прошедших сквозь Т, прошла также и через S'. В опыте (3.12), хоть в нем, вообще говоря, через Т пройдет другое число атомов, но через S' пройдет та же самая, часть их — одна треть.

Мы можем на самом деле показать, опираясь на то, чему мы научились раньше, что доля атомов, которые выходят из Т и проходят через произвольный определенный фильтр S', зависит лишь от Т и S', а не от чего бы то ни было происходившего ранее. Сравним опыт (3.12) с

Амплитуда того, что атом, выходящий из S, пройдет и сквозь Т, и сквозь 6", в опыте (3.12) равна

<+S|0T><0T|0S>.

Соответствующая вероятность такова:

а вероятность в опыте (3.13)

Их отношение

зависит только от Т и S' и совсем не зависит от того, какой пучок (+S), (0S) или (-S) был отобран в S. (Абсолютные же количества могут быть большими или меньшими, смотря по тому, сколько прошло через Т.) Мы бы получили, конечно, аналогичный результат, если бы сравнили вероятности того, что атомы перейдут в плюс- или минус-состояние (по отношению к S'), или отношения вероятностей перейти в нуль- или минус-состояние.

Но раз эти отношения зависят только от того, какой пучок может пройти сквозь Т, а не от отбора, выполненного первым фильтром S, то становится ясно, что тот же результат получился бы, если бы последний прибор даже не был фильтром S. Если в качестве третьего прибора (назовем его R) мы используем прибор, повернутый относительно Т на некоторый произвольный угол, то все равно увидим, что отношения типа

не зависят от того, какой пучок проник через первый фильтр S.

§ 4. Базисные состояния

Эти результаты иллюстрируют один из основных принципов квантовой механики: любая атомная система может быть разделена процессом фильтрования на определенную совокупность того, что мы назовем базисными состояниями, и будущее поведение атомов в любом данном отдельном базисном состоянии зависит только от природы базисного состояния — оно не зависит от предыдущей истории. Базисные состояния зависят, конечно, от примененного фильтра; например, три состояния (+Т), (0Т) и (-Т)—это одна совокупность базисных состояний, а три состояния (+S), (0S) и (-S) — другая. Возможностей сколько угодно, и ни одна не хуже другой.

Необходимо быть осторожным, утверждая, что мы рассматриваем хорошие фильтры, которые действительно создают «чистые» пучки. Если, скажем, наш прибор Штерна — Герлаха недостаточно хорошо отделяет пучки друг от друга, то Мы не можем произвести полного разделения на базисные состояния. Мы можем проверить, есть ли у нас чистые базисные состояния, посмотрев, смогут ли пучки опять расщепиться еще одним таким же фильтром. Если, например, имеется чистое состояние (+T), то все атомы пройдут через

но ни один из них не пройдет ни через

ни через

Наше утверждение относительно базисных состояний означает, что есть возможность отфильтровать пучок до некоторого чистого состояния, так что дальнейшее фильтрование идентичным прибором уже станет невозможным.

Следует еще отметить, что все, что мы говорим, до конца верно лишь в идеализированных случаях. В каждом реальном приборе Штерна — Герлаха надо подумать и о дифракции на щелях, которая может вынудить некоторые атомы перейти в состояния, отвечающие другим углам, и о том, нет ли в пучке атомов с другой степенью возбуждения своих внутренних состояний и т. д. Мы идеализировали наш случай и говорим только о тех состояниях, которые расщепляются в магнитном поле; при этом мы игнорируем все, что касается местоположения, импульса, внутренних возбуждений и т. п. Вообще же следовало бы рассматривать также базисные состояния, рассортированные и по отношению ко всем перечисленным характеристикам. Но для простоты мы пользуемся только нашей совокупностью трех состояний. Этого вполне достаточно для того, чтобы точно рассмотреть идеализированный случай, в котором атомы не подвергаются в приборе плохому обращению, не разрываются и, более того, покидая его, оказываются в состоянии покоя.

Заметьте, что мы всегда начинаем наши мысленные эксперименты с того, что берем фильтр, у которого открыт только один канал, так что начинаем всегда с определенного базисного состояния. Мы делаем это потому, что атомы выходят из печи в различных состояниях, случайно определенных тем, что произойдет в печи. (Это дает так называемый «неполяризованный» пучок.) Эта случайность предполагает вероятности «классического» толка (как при бросании монеты), которые отличаются от интересующих нас сейчас квантовомеханических вероятностей. Работа с неполяризованным пучком привела бы нас к добавочным усложнениям, а их лучше избегать, пока мы не поймем поведения поляризованных пучков. Так что пока не пытайтесь размышлять о том, что случится, если первый аппарат пропустит сквозь себя больше одного пучка. (В конце главы мы расскажем вам, как нужно поступать и в таких случаях.)

А теперь вернемся назад и посмотрим, что будет, если мы перейдем от базисного состояния для одного фильтра к базисному состоянию для другого фильтра. Начнем опять с

Атомы, выходящие из Т, оказываются в базисном состоянии (О Т) и не помнят, что когда-то они побывали в состоянии (+S). Некоторые говорят, что при фильтровании прибором Т мы «потеряли информацию» о былом состоянии (+S), потому что «возмутили» атомы, когда разделяли их прибором Т на три пучка. Но это неверно. Прошлая информация теряется не при разделении на три пучка, а тогда, когда ставятся перегородки, в чем можно убедиться в следующем ряде опытов.

Начнем с фильтра +S и обозначим количество прошедших сквозь него атомов буквой N. Если мы вслед за этим поставим фильтр О Т, то число атомов, которое выйдет из фильтра, окажется некоторой частью от первоначального их количества, скажем aN. Если мы затем поставим второй фильтр +S, то до конца дойдет лишь часть b атомов. Это можно записать следующим образом:

Если наш третий прибор S' выделяет другое состояние, скажем (0S), то через него пройдет другая часть атомов, скажем γ. Мы будем иметь

Теперь предположим, что мы повторили оба эти опыта, убрав из Т все перегородки. Тогда мы получим следующий замечательный результат:

В первом случае через S' прошли все атомы, во втором — ни одного! Это один из самых великих законов квантовой механики. То, что природа действует таким образом, вовсе не самоочевидно; результаты, которые мы привели, отвечают в нашем идеализированном случае квантовомеханическому поведению, наблюдавшемуся в бесчисленных экспериментах.

§ 5. Ннтерферирующив амплитуды

Как же это может быть, что, когда переходят от (3.15) к (3.17), т. е. когда открывается больше каналов, через фильтры начинает проходить меньше атомов? Это и есть старый, глубокий секрет квантовой механики — интерференция амплитуд. С такого рода парадоксом мы впервые встретились в интерференционном опыте, когда электроны проходили через две щели. Помните, мы тогда увидели, что временами кое-где получается меньше электронов, когда обе щели открыты, чем когда открыта одна. Численно это получается вот как. Можно написать амплитуду того, что атом пройдет в приборе (3.17) через Т и S' в виде суммы трех амплитуд — по одной для каждого из трех пучков в Т; эта сумма равна нулю:

Ни одна из трех отдельных амплитуд не равна нулю: например, квадрат модуля второй амплитуды есть ga [см. (3.15)], но их сумма есть нуль. Тот же ответ получился бы, если бы мы настроили S’ на то, чтобы отбирать состояние (-S). Однако при расположении (3.16) ответ уже другой. Если обозначить амплитуду прохождения через Т и S' буквой а, то в этом случае мы будем иметь

В опыте (3.16) пучок сперва расщеплялся, а потом восстанавливался. Как мы видим, Шалтая-Болтая удалось собрать обратно. Информация о первоначальном состоянии (+ S) сохранилась — все выглядит так, как если бы прибора Т вовсе не было. И это будет верно, что бы ни поставили за «до отказа раскрытым» прибором Т. Можно поставить за ним фильтр R — под каким-нибудь необычным углом — или что-угодно. Ответ будет всегда одинаков, как будто атомы шли в S' прямо из первого фильтра S.

Итак, мы пришли к важному принципу: фильтр Т или любой другой с открытыми до отказа заслонками не приводит ни к каким изменениям. Надо только упомянуть одно добавочное условие. Открытый фильтр должен не только пропускать все три пучка, но и не вызывать в них неодинаковых возмущений. Например, в нем не должно быть сильного электрического поля близ одного из пучков, которого не было бы возле других. Причина заключается вот в чем: хотя это добавочное возмущение может и не помешать всем атомам пройти сквозь фильтр, оно может привести к изменению фаз некоторых амплитуд. Тогда интерференция стала бы не такой, как была, и амплитуды (3.18) и (3.19) стали бы другими. Мы всегда будем предполагать, что таких добавочных возмущений нет.

Перепишем (3.18) и (3.19) в улучшенных обозначениях. Пусть i обозначает любое из трех состояний (+Т), (0Т)и (-Т); тогда уравнения можно написать так:

и

Точно так же в опыте, в котором S' заменяется совершенно произвольным фильтром R, мы имеем

S Т R Результаты будут всегда такими же, как если бы прибор Т убрали и осталось бы только

Или на математическом языке

Это и есть наш основной закон, и он справедлив всегда, если только i обозначает три базисных состояния любого фильтра. Заметьте, что в опыте (3.22)никакой особой связи между S, R и Т не было. Более того, рассуждения остались бы теми же независимо от того, какие состояния эти фильтры отбирают. Чтобы написать уравнение в общем виде без ссылок на какие-то особые состояния, отбираемые приборами S и R, обозначим через j состояние, приготовляемое первым прибором (в нашем частном примере +S), и через c — состояние, подвергаемое испытанию в конечном фильтре (в нашем примере +R). Тогда мы можем сформулировать наш основной закон (3.23) так:

где i должно пробегать по всем трем базисным состояниям некоторого определенного фильтра.

Хочется опять подчеркнуть, что мы понимаем под базисными состояниями. Они напоминают тройку состояний, которые можно отобрать с помощью одного из наших приборов Штерна — Герлаха. Одно условие состоит в том, что если у вас есть базисное состояние, то будущее не зависит от прошлого. Другое условие — что если у вас есть полная совокупность базисных состояний, то формула (3.24) справедлива для любой совокупности начальных и конечных состояний j и c. Но не существует никакой особой совокупности базисных состояний. Мы начали с рассмотрения базисных состояний по отношению к прибору Т. В равной мере мы бы могли рассмотреть другую совокупность базисных состояний — по отношению к прибору S, к прибору R и т. д. Мы обычно говорим о базисных состояниях «в каком-то представлении».

Другое требование к совокупности базисных состояний (в том или ином частном представлении) заключается в том, что им положено полностью отличаться друг от друга. Под этим мы понимаем, что если имеется состояние (+T), то для него нет амплитуды перейти в состояние (О Т) или (-Т). Если i и j обозначают два базисных состояния в некотором представлении, то общие правила, которые мы обсуждали в связи с (3.8), говорят, что

<j|i>=0

для любых неравных между собой i и j. Конечно, мы знаем, что

<i|i>=1.

Эти два уравнения обычно пишут так:

где dij («символ Кронекера») — символ, равный по определению нулю при i№j и единице при i=j.

· Уравнение (3.25) не независимо от остальных законов, о которых мы упоминали. Бывает, что нас не особенно интересует математическая задача поиска наименьшей совокупности независимых аксиом, из которых все законы проистекут как следствия. Нам вполне достаточно обладать совокупностью, которая полна и по виду непротиворечива. Однако мы беремся показать, что (3.25) и (3.24) не независимы. Пусть j в (3.24) представляет одно из базисных состояний той же совокупности, что и i, скажем j-e состояние; тогда мы имеем

Но (3.25) утверждает, что <i|j> равно нулю, если только i не равно j, так что сумма обращается просто в <c|j} и получается тождество, что говорит о том, что эти два закона не независимы.

Можно видеть, что если справедливы оба уравнения (3.25) и (3.24), то между амплитудами должно существовать еще одно соотношение. Уравнение (3.10) имело вид

Если теперь посмотреть на (3.24) и предположить, что и j, и c — это состояние (+S), то слева получится <+S|+S>, а это, конечно, равно единице, и мы должны получить (3.19)

Эти два уравнения согласуются друг с другом (для всех относительных ориентации приборов Т и S) только тогда, когда

Стало быть, для любых состояний j и c

Если бы этого не было, вероятности «не сохранились бы» и частицы «терялись бы».

Прежде чем идти дальше, соберем все три общих закона для амплитуд, т. е. (3.24) —(3.26):

В этих уравнениях i и j относятся ко всем базисным состояниям какого-то одного представления, тогда как j и c — это любое возможное состояние атома. Важно отметить, что закон II справедлив лишь тогда, когда суммирование проводится по всем базисным состояниям системы (в нашем случае по трем: +Т, 0Т, -Т). Эти законы ничего не говорят о том, что следует избирать в качестве базиса. Мы начали с прибора Т, который является опытом Штерна — Герлаха с какой-то произвольной ориентацией, но и всякая другая ориентация, скажем W, тоже подошла бы. Вместо i и j нам пришлось бы ставить другую совокупность базисных состояний, но все законы остались бы правильными; какой-то единственной совокупности не существует. Успех в квантовой механике часто определяется тем, умеете ли вы использовать тот факт, помня, что расчет можно вести из-за этого разными путями.

§ 6. Механика квантовой механики

Мы покажем вам сейчас, почему полезны эти законы. Пусть у нас есть атом в заданном состоянии (под этим мы подразумеваем, что он как-то был приготовлен), и мы хотим знать, что с ним будет в таком-то опыте. Иными словами, мы начинаем с состояния j атома и хотим знать, каковы шансы, что он пройдет через прибор, который пропускает атомы только в состоянии c. Законы говорят, что мы можем полностью описать прибор тремя комплексными числами <c|i> — амплитудами того, что каждое из базисных состояний окажется в состоянии c, и что мы, пустив атом в прибор, можем предсказать, что произойдет, если опишем состояние атома, задав три числа <i|j>,— амплитуды того что атом из своего первоначального состояния перейдет в любое из трех базисных состояний. Это очень и очень важная идея, Рассмотрим другую иллюстрацию. Подумаем о следующей задаче. Начинаем с прибора S, затем имеется какая-то сложная мешанина, которую мы обозначаем A, а дальше стоит прибор R:

Под А мы подразумеваем любое сложное расположение приборов Штерна — Герлаха — с перегородками и полуперегородками, под всевозможными углами, с необычными электрическими и магнитными полями,— словом, годится все, что вам придет в голову. (Очень приятно ставить мысленные эксперименты — тогда нас не тревожат никакие заботы, возникающие при реальном сооружении приборов!) Задача состоит в следующем: с какой амплитудой частица, входящая в область A в состоянии (+S), выйдет из него в состоянии (0R), так что сможет пройти через последний фильтр R? Имеется стандартное обозначение для такой амплитуды:

<0R|A|+S>.

Как обычно, это надо читать справа налево: < Конец | Через | Начало>.

Если случайно окажется, это А ничего не меняет, а просто является открытым каналом, тогда мы пишем

<0R |1|+S>=<0R|+S>; (3.29)

эти два символа равнозначны. В более общих задачах мы можем заменить (+S) общим начальным состоянием j, а (0R) — общим конечным состоянием c и захотеть узнать амплитуду

<c|A|j>.

Полный анализ прибора А должен был бы дать нам амплитуду <c|А|j> для каждой мыслимой пары состояний j и c — бесконечное количество комбинаций! Как же сможем мы тогда дать краткое описание поведения прибора А?Это можно сделать следующим путем. Вообразим, что мы видоизменили прибор (3.28) так:

На самом деле это вовсе не видоизменение, потому что широко раскрытые приборы Т ничего нигде не меняют. Но они подсказывают нам, как проанализировать проблему. Имеется определенная совокупность амплитуд <i|+S> того, что атомы из S перейдут в состояние i прибора Т. Затем имеется другая совокупность амплитуд того, что состояние i (по отношению к Т), войдя в А, выйдет оттуда в виде состояния j (по отношению к Т). И наконец, имеется амплитуда того, что каждое состояние j пройдет через последний фильтр в виде состояния (0R). Для каждого допустимого пути существует амплитуда вида

<0R|j><j|A|i><i|+S>,

и полная амплитуда есть сумма членов, которые можно получить из всех сочетаний i и j. Нужная нам амплитуда равна

Если (О Л) и (+S) заменить общими состояниями c и j, то получится выражение такого же рода; так что общий результат выглядит так:

Теперь заметьте, что правая часть (3.32) на самом деле «проще» левой части. Прибор А полностью описан девятью числами <j|А|i>, сообщающими, каков отклик А на три базисных состояния прибора Т. Как только мы узнаем эту девятку чисел, мы сможем управиться с любой парой входных и выходных состояний j и c, если только определим каждое из них через три амплитуды перехода в каждое из трех базисных состояний (или выхода из них). Результат опыта предсказывается с помощью уравнения (3.32).

В этом и состоит основной вывод квантовой механики частицы со спином 1. Каждое состояние описывается тройкой чисел — амплитудами пребывания в каждом из базисных состояний (из избранной их совокупности). Всякий прибор описывается девяткой чисел — амплитудами перехода в приборе из одного базисного состояния в другое. Зная эти числа, можно подсчитать что угодно.

Девятка амплитуд, описывающая прибор, часто изображается в виде квадратной матрицы, именуемой матрицей

<j|A|i>:

Вся математика квантовой механики является простым расширением этой идеи. Приведем несложный пример. Пусть имеется прибор С, который мы хотим проанализировать, т. е. рассчитать различные <j|С|i>. Скажем, мы хотим знать, что случится в эксперименте типа

Но затем мы замечаем, что С просто состоит из двух частей: стоящих друг за другом приборов А и В. Сперва частицы проходят через А, а потом — через B, т. е. можно символически записать

Мы можем прибор С назвать «произведением» А и В. Допустим также, что мы уже знаем, как эти две части анализировать; таким образом, мы можем узнать матрицы А и В (по отношению к Т). Тогда наша задача решена. Мы легко найдем <c|С|j> для любых входных и выходных состояний. Сперва мы напишем

Понимаете, почему? (Подсказка: представьте, что между А к В поставлен прибор Т.) Если мы затем рассмотрим особый случай, когда j и cтакже базисные состояния (прибора Т), скажем i и j, то получим

Это уравнение дает нам матрицу прибора «произведения» С через матрицы приборов А и В. Математики именуют новую матрицу <j|С|i>, образованную из двух матриц <j|В|i> и <j|А|i> в соответствии с правилом, указанным в (3.36), матричным «произведением» ВА двух матриц В и А. (Заметьте, что порядок существен, АВ№ВА.) Итак, можно сказать, что матрица для стоящих друг за другом двух частей прибора — это матричное произведение матриц для этих двух приборов порознь (причем первый прибор стоит в произведении справа). И каждый, кто знает матричную алгебру, поймет, что речь идет просто об уравнении (3.36).

§ 7. Преобразование к другому базису

Мы хотим сделать одно заключительное замечание относительно базисных состояний, используемых в расчетах. Предположим, мы захотели работать с каким-то определенным базисом, скажем с базисом S, а кто-то другой решает провести те же расчеты с другим базисом, скажем с базисом Т.

Для конкретности назовем наши базисные состояния состояниями (iS), где i= +, 0, -, а его базисные состояния назовем (jT). Как сравнить его работу с нашей? Окончательные ответы для результатов любых измерений обязаны оказаться одинаковыми, но употребляемые в самих расчетах всевозможные матрицы и амплитуды будут другими.

Как же они соотносятся? К примеру, если оба мы начинаем с одного и того же j, то мы опишем это j на языке трех амплитуд <iS|j> — амплитуд того, что j переходит в наши базисные состояния в представлении S, а он опишет это j амплитудами <jТ|j> — амплитудами того, что состояние j переходит в базисные состояния в его, Т, представлении. Как проверить, что мы оба на самом деле говорим об одном и том же состоянии j? Это можно сделать с помощью нашего общего правила II [см. (3.27)]. Заменяя cлюбым из его состояний jT, напишем

Чтобы связать оба. представления, нужно задать только девять комплексных чисел — матрицу <jT|iS>, Эту матрицу затем можно использовать для того, чтобы перевести все его уравнения в нашу форму. Она сообщает нам, как преобразовать одну совокупность базисных состояний в другую. (По этой причине <jT|iS>иногда именуют «матрицей преобразования от представления S к представлению T». Слова ученые!)

Для случая частиц со спином 1, у которых бывает только тройка базисных состояний (у высших спинов их больше), математическая ситуация напоминает то, что мы видели в векторной алгебре. Каждый вектор может быть представлен тремя числами — компонентами вдоль осей х, у и z. Иначе говоря, всякий вектор может быть разложен на три «базисных» вектора, т. е. векторы вдоль этих трех осей. Но предположим, что кто-то другой решает выбрать другую тройку осей: x', y' и z'. Чтобы представить любой частный вектор, он воспользуется другими (а не теми, что мы) числами. Его выкладки не будут похожи на наши, но окончательный итог окажется таким же. Мы это уже рассматривали раньше и знаем правила преобразования векторов от одной тройки осей к другой.

Вам может захотеться увидать, как действуют квантовомеханические преобразования, и самим попробовать их проделать; для этого мы приведем здесь без вывода матрицы преобразований амплитуд спина 1 от представления S к другому представлению Т для разных взаимных ориентации фильтров S и Т. (В следующих главах мы покажем, как получаются эти результаты.)

Первый случай. У прибора Т ось у (вдоль которой движутся частицы) та же самая, что и у S, но Т повернут вокруг общей оси у на угол а (на фиг. 3.6). (Чтобы быть точными, укажем, что в приборе Т установлена система координат х' , у', z', связанная с координатами х, у, z прибора S формулами z'=zcosa+хsina; х'=хcosa- zsina; у' = у.) Тогда амплитуды преобразований таковы:

(3.38)

Второй случай. Прибор Т имеет ту же ось г, что и S, но повернут относительно оси z на угол b. (Преобразование координат: z'=z; х' =xcosb+ysinb; у'=уcosb- хsinb.) Тогда амплитуды преобразований суть

(3.39)

Заметьте, что любые вращения Т можно составить из описанных двух вращений.

Если состояние j определяется тремя числами

и если то же состояние описывается с точки зрения Т тремя числами

тогда коэффициенты <jT| iS>из (3.38) и (3.39) дают преобразования, связывающие Сi и С'i. Иными словами. С; очень походят на компоненты вектора, который с точек зрения S и Т выглядит по-разному.

Только у частицы со спином 1 (потому что ей требуются как раз три амплитуды) есть такое тесное соответствие с векторами. Здесь во всех случаях имеется тройка чисел, которая обязана преобразовываться при изменениях координат определенным известным образом. И действительно, здесь есть и такая совокупность базисных состояний, которая преобразуется в точности, как три компоненты вектора. Три комбинации

преобразуются в С'х, С'у, С'zкак раз так же, как х, у, z преобразуются в х', у', z' . [Вы можете проверить это с помощью законов преобразований (3.38) и (3.39).] Теперь вы понимаете, почему частицу со спином 1 часто называют «векторной частицей».

§ 8. Другие случаи

Мы начали с того, что подчеркнули, что наши рассуждения о частице со спином 1 явятся прототипом любых квантовомеханических задач. Обобщения требует только количество состояний. Вместо тройки базисных состояний в других случаях может потребоваться n базисных состояний. Форма наших основных законов (3.27) останется той же, если только понимать, что i и j должны пробегать по всем n базисным состояниям. Любое явление можно проанализировать, задав амплитуды того, что оно начинается с любого базисного состояния и кончается тоже в любом базисном состоянии, а затем просуммировав по всей полной системе базисных состояний. Можно использовать любую подходящую систему базисных состояний, и каждый вправе выбрать ту, которая ему по душе; связь между любой парой базисов осуществляется матрицей преобразований nXn. Позже мы подробнее расскажем об этих преобразованиях.

Наконец, мы пообещали рассказать о том, что надо делать, если атомы прямо из печи проходят через какой-то прибор А и затем анализируются фильтром, который отбирает состояние c. Вы не знаете, каково то состояние j, в котором они входят в прибор. Лучше всего, наверное, было бы, если бы вы, не думая пока об этой проблеме, занимались такими задачами, в которых вначале имеются только чистые состояния. Но если уж вы на этом настаиваете, так вот как расправляются с этой проблемой.

Прежде всего вы должны быть в состоянии сделать разумные предположения о том, каким образом распределены состояния в атомах, которые выходят из печи. Например, если в печи нет чего-либо «особого», то разумно предположить, что атомы покидают печь, будучи «ориентированы» как попало. Квантовомеханически это соответствует вашему утверждению о том, что о состояниях вы не знаете ничего, кроме того, что треть атомов находится в состоянии (+S), треть — в состоянии (0S) и треть — в состоянии (-S). Для пребывающих в состоянии (+S) амплитуда пройти сквозь А есть <c|А|+S>, а вероятность |<c|А|+S>|2. То же и для других. Общая вероятность тогда равна

Но почему мы пользовались S, а не Т или каким-нибудь другим представлением? Дело в том, что, как это ни странно, ответ не зависит от того, каким было исходное разложение; он один и тот же, если только мы имеем дело с совершенно случайными ориентациями. Таким же образом получается, что

для любого c. (Докажите-ка это сами!)

Заметьте, что неверно говорить, будто входные состояния обладают амплитудой Ц^1/3быть в состоянии (+S), Ц^1/3 в состоянии (0S)и Ц^1/3в состоянии (-S); если бы это было так, были бы допустимы какие-то интерференции. Здесь вы просто не знаете, каково начальное состояние; вы обязаны думать на языке вероятностей, что система сперва находится во всевозможных мыслимых начальных состояниях, и затем взять средневзвешенное по всем возможностям.

* Число базисных состояний n может оказаться (и, вообще говоря, бывает) равным бесконечности.

* И в самом деле, для атомных систем с тремя или более базисными состояниями существуют другие типы фильтров (совершенно непохожие на приборы Штерна —Герлаха), которые можно было бы употребить для выбора других совокупностей базисных состояний (но при том же общем иx числе).

* Из этого опыта мы на самом деле не можем заключить, что а= 1, а видим только, что |а|2=1, следовательно, а может быть eid, но можно показать, что при выборе d=0 мы ничего существенного здесь не потеряли.

* На языке наших прежних обозначений

* Мы не собираемся вкладывать в слова «базисное состояние» что-либо сверх того, что здесь сказано. Не следует переводить «базис» как «основу» и хоть в каком-то смысле считать их «основными состояниями». Слово «базис» понимается как «система описания», скажем, в таком смысле, как в выражении «число в десятичной системе».

* Произносить надо так: (+S)—«плюс-S»; (0S) — «нуль-S»; (-S)— «минус-S».

Глава 4

СПИН ОДНА ВТОРАЯ

§ 1. Преобразование амплитуд

§ 2. Преобразование к повернутой системе координат

§ 3. Повороты вокруг оси z

§ 4. Повороты на 180° и на 90 вокруг оси у

§ 5. Повороты вокруг оси x

§ б. Произвольные повороты

§ 1. Преобразование амплитуд

В предыдущей главе мы, пользуясь в качестве примера системой со спином 1, набросали общие принципы квантовой механики.

Любое состояние y можно описать через совокупность базисных состояний, задав амплитуды пребывания в каждом из них.

Амплитуда перехода из одного состояния в другое может быть в общем случае записана в виде суммы произведений амплитуд перехода в одно из базисных состояний на амплитуды перехода из этих базисных состояний в конечное положение; в сумму непременно входят члены, относящиеся к каждому базисному состоянию;

Базисные состояния ортогональны друг другу — амплитуда пребывания в одном, если вы находитесь в другом, есть нуль:

Амплитуда перехода из одного состояния в другое комплексно сопряжена амплитуде обратного перехода

Мы немного поговорили о том, что базис для состояний может быть не один и что можно использовать (4.1), чтобы перейти от одного базиса к другому. Пусть, например, мы знаем амплитуды <iS|y> обнаружения состояния y в любом из базисных состояний i базисной системы S, но затем решаем, что лучше описывать состояние в терминах другой совокупности базисных состояний — скажем, состояний j, принадлежащих к базису Т. Мы тогда можем подставить в общую формулу (4.1) jT вместо c и получить

Амплитуды обнаружения состояния (y) в базисных состояниях (jТ) связаны с амплитудами его обнаружения в базисных состояниях (iS) совокупностью коэффициентов <jT|iS>. Если базисных состояний N, то таких коэффициентов всего N^2. Эту совокупность коэффициентов часто называют «матрицей преобразования от представления S к представлению Т». Математически это выглядит страшновато, но стоит все чуть обозначить иначе и оказывается, что ничего страшного нет. Если обозначить через С; амплитуду того, что состояние y находится в базисном состоянии iS, т. е. Ci=<iS|y>, а через C'jназвать соответствующие амплитуды для базисной системы Т. т. е. Сj=<jT|y>, то (4.4) можно записать в виде

где Rji — то же самое, что и <jT|iS>. Каждая амплитуда Cjесть сумма по всем i одного ряда коэффициентов Rji , умноженных на каждую амплитуду Сi. Это выглядит так же, как преобразование вектора от одной системы координат к другой.

Но не будем слишком долго увлекаться абстракцией. Мы уже приводили парочку примеров этих коэффициентов для случая спина 1, и вы сами можете разобраться, как ими пользоваться практически. Но, с другой стороны, у квантовой механики существует очень красивое качество: из того факта, что состояний только три, используя лишь свойства симметрии пространства относительно вращений она умеет чисто отвлеченным путем вычислить эти коэффициенты. Приводить на столь ранней стадии эти рассуждения было бы нехорошо: прежде чем вы «вернулись бы на землю», вы могли бы утонуть в новом море абстракций. Однако все это так красиво, что мы в свое время это непременно проделаем.

В этой же главе мы покажем вам, как можно получить коэффициенты преобразований для частиц со спином 1/2. Мы выбрали этот случай потому, что он проще спина 1. Задача состоит в том, чтобы определить коэффициенты Rjiдля частицы, или атомной системы, которая в аппарате Штерна — Герлаха расщепляется на два пучка„ Мы собираемся вывести все коэффициенты для преобразования от одного представления к другому путем чистого рассуждения плюс несколько предположений. Какие-то предположения всегда нужны для того, чтобы пользоваться «чистыми» рассуждениями! Хотя наши доказательства будут абстрактными и немного запутанными, результат, который мы получим, сформулировать легко и понять просто; сам же по себе он будет очень важным. Можете, если угодно, рассматривать это как своего рода культмероприятие. Мы ведь условились уже, что все существенное, выведенное здесь, будет также выводиться по мере надобности в следующих главах другим путем. Так что вы не бойтесь потерять нить нашего изложения квантовой механики, если полностью пропустите эту главу или изучите ее попозже. Мероприятие «культурное» в том смысле, что оно должно показать вам, что принципы квантовой механики не только любопытны, но и настолько глубоки, что, прибавив к ним всего несколько добавочных гипотез о структуре пространства, мы сможем вывести огромное множество свойств физических систем. Кроме того, важно понимать, откуда вытекают различные следствия квантовой механики. Пока наши законы физики неполны (а так оно и есть на самом деле), всегда интересно выяснить, в каких местах наши теории перестают согласовываться с опытом — там ли, где наша логика самая лучшая, или же там, где она наихудшая. До сих пор оказывалось, что там, где наша логика наиболее абстрактна, там она всегда дает правильные результаты — теория согласуется с опытом. Только тогда, когда мы пытаемся строить конкретные модели внутреннего устройства элементарных частиц и их взаимодействий, только тогда мы оказываемся не в состоянии найти теорию, согласную с экспериментом. Та теория, которую мы намерены описать здесь, согласуется с опытом всюду, где ее испытывали; она так же хороша для странных частиц, как и для электронов, протонов и т. д.

Еще одно неприятное (но важное) замечание: коэффициенты Rjiневозможно определить однозначно, потому что в амплитудах вероятностей всегда есть какой-то произвол. Если у вас есть ряд каких угодно амплитуд, скажем амплитуд прихода в некоторое место по целому множеству различных путей, и если вы помножите каждую отдельную амплитуду на один и тот же фазовый множитель, скажем на еid, то получится другая совокупность, которая будет ничуть не хуже первой. Значит, всегда можно произвольно изменить фазу всех амплитуд в любой задаче, если вы этого захотите.

Допустим, вы вычисляете некоторую вероятность, беря сумму нескольких амплитуд, скажем (А+В+С+...), и возводя ее модуль в квадрат. Затем кто-то другой вычисляет то же самое, складывая амплитуды (А'+В'+С'+ ...) и возводя их модуль в квадрат. Если все А', В', С' и т. д. отличаются от А, В, С и т. д. только множителем еid, то все вероятности, получаемые возведением модуля в квадрат, окажутся в точности одинаковыми, потому что тогда (А'+В'+С+...) равно eid(А+В+С+...). Или допустим, к примеру, что мы считали что-нибудь по уравнению (4.1), но затем внезапно изменили все фазы определенной базисной системы. Каждую из амплитуд <i|y> тогда пришлось бы умножить на один и тот же множитель еid. Точно так же изменились бы в eidраз и все амплитуды: <i|c>, но амплитуды <c|i> комплексно сопряжены амплитудам <i|c>; тем самым они приобрели бы множитель е-id . Плюс и минус id в экспонентах уничтожатся, и получится то же выражение, что было и раньше. Стало быть, общее правило таково, что изменение на одну и ту же фазу всех амплитуд по отношению к данной базисной системе или даже простое изменение всех амплитуд в любой задаче на одну и ту же фазу ничего не меняет. Значит, существует некоторая свобода в выборе фаз нашей матрицы преобразования. Мы то и дело будем прибегать к такому произвольному выбору, всегда следуя общепринятым соглашениям.

§ 2. Преобразование к повернутой системе координат

Рассмотрим опять «усовершенствованный» прибор Штерна— Герлаха, описанный в предыдущей главе. Пучок частиц со спином 1/2, входящих слева, расщепляется, вообще говоря, на два пучка, как показано схематически на фиг. 4.1.

Фиг. 4.1. «Усовершенствованный» прибор Штерна — Герлаха с пучками частиц со спином 1/2.

(При спине 1 пучков было три.) Как и раньше, пучки в конце снова сводятся в одно место, если только один из них не будет перекрыт «перегородкой», которая перехватит его на полпути. На рисунке имеется стрелка, которая показывает направление роста величины поля, скажем положение магнитного полюса с острым наконечником. Эта стрелка пусть будет представлять собой направление вверх для данного прибора. В каждом аппарате ее положение фиксировано, что позволяет указывать взаимную ориентацию нескольких приборов относительно друг друга. Наконец, предположим еще, что направление магнитного поля относительно стрелки во всех магнитах одинаково.

Будем говорить, что атомы из «верхнего» пучка находятся по отношению к этому прибору в состоянии (+), атомы из «нижнeгo» — в состоянии (-). (Нуль-состояния для спина 1/2 не

существует.)

Положим теперь, что мы поставили два наших усовершенствованных прибора Штерна — Герлаха один за другим фиг. 4.2, а).

Фиг. 4.2. Два эквивалентных эксперимента.

Первый (назовем его S) можно употребить на то, чтобы приготовлять чистое состояние (+S) или (-S), загораживая то один, то другой пучок. [На рисунке приготовляется чистое состояние (+S).] При любом расположении всегда есть некоторая амплитуда того, что частица, выходящая из S, окажется в пучке (+Т) или (-Т) второго прибора. Всего таких амплитуд четыре: амплитуды перехода от (+S) к (+T), от (+S) к (-Т), от (-S) к (+Т) и от (-S) к (-T). Эти амплитуды — просто четыре коэффициента матрицы преобразования Rji перехода от представления S к представлению Т. Можно считать, что первый прибор «приготовляет» определенное состояние в одном представлении, а второй «анализирует» это состояние в терминах второго представления. Мы хотим научиться отвечать на такие вопросы: если, загородив один из пучков в S, мы приготовили атом в данном состоянии, например в состоянии (+5), то каково будет изменение, которое он испытает, пройдя через прибор Т, который настроен на состояние (-T)? Результат, конечно, будет зависеть от углов между системами S и Т.

Мы должны объяснить, почему есть надежда найти коэффициенты Rjiтеоретически. Почти невозможно поверить, что если у частиц спин был выстроен в направлении +z, то есть хоть какой-то шанс обнаружить, что ее спин ориентирован в направлении +x или в каком-либо другом направлении. Это действительно почти невозможно. Но все же не совсем. Это настолько невозможно, что остается лишь один путь, каким это происходит, а если этот путь один, то его уже можно найти.

Первое рассуждение можно провести так. Предположим, что, как показано на фиг. 4.2, а, прибор Т направлен вверх под углом а относительно S. Пусть через S проходит только пучок (+), а через Т — только пучок (-). Мы измерили некоторую вероятность того, что частицы, выходя из S, пройдут сквозь Т. Теперь предположим, что мы делаем второе измерение прибором, показанным на фиг. 4.2, б. Относительная ориентация S и Т одинакова, но вся система расположена в пространстве под другим углом. Мы хотим предположить, что оба опыта приведут к одному и тому же значению вероятности того, что частица в чистом состоянии относительно S окажется в некотором определенном состоянии относительно Т, Иными словами, мы предполагаем, что результат любого опыта такого рода одинаков, что сама физика одинакова, как бы весь прибор ни был ориентирован в пространстве. (Вы скажете: «Это самоочевидно». Но это все же только предположение, и оно «правильно» только тогда, если так действительно бывает.) Это означает, что коэффициенты Rjiзависят лишь от взаимного расположения S и Т в пространстве, а не от абсолютного их расположения. Выражаясь иначе, Rjiзависит только от поворота, который переводит S в Т, потому что общим для фиг. 4.2, а и б, очевидно, является трехмерный поворот, переводящий прибор S в положение прибора Т. Когда матрица преобразования Rjiзависит, как в нашем случае, только от поворота, ее называют матрицей поворота.

Для следующего шага нужно еще немного информации. Пусть мы добавили третий прибор (назовем его U), стоящий вслед за Т под каким-то произвольным углом (фиг. 4.3, а).

Фиг. 4.3. Если Т «открыт до отказа», то б эквивалентно а.

(Все это начинает выглядеть устрашающе, но в этом-то и прелесть отвлеченного мышления: самые сверхъестественные опыты можно ставить, просто проводя новые линии!) Что же представляет собой преобразование S®Т®U? Фактически нас интересует амплитуда перехода из некоторого состояния по отношению к S к некоторому другому состоянию по отношению к U, если известны преобразования от S к Т и от Т к U, Поинтересуемся сперва опытом, в котором в Т открыты оба канала. Ответ можно получить, дважды подряд применяя (4.5). Для перехода от S-представления к T-представлению имеем

где верхние индексы TS нужны, чтобы отличать это R от RUT, когда мы будем переходить от Т к U.

Обозначая амплитуды появления атома в базисных состояниях представления U через C"k, можно связать их с T-амплитудами, применяя (4.5) еще раз; получим

Теперь можно из (4.6) и (4.7) получить преобразование от S прямо к U. Подставляя С'jиз (4.6) в (4.7), имеем

Или, поскольку в RUTkjотсутствует i, можно поставить суммирование по i впереди и написать

Это и есть формула двойного преобразования.

Заметьте, однако, что, пока пучки в Т не загораживаются, состояния на выходе из Т те же, что и при входе в него. Мы могли бы с равным успехом делать преобразования из S-представления прямо в представление U. Это значило бы, что прибор U поставлен прямо за S, как на фиг. 4.3, б. В этом случае мы бы написали

где RUSki — коэффициенты, принадлежащие этому преобразованию. Но ясно, что (4.9) и (4.10) должны приводить к одинаковым амплитудам С"k, причем независимо от того, каково было то начальное состояние j, которое снабдило нас амплитудами Сi. Значит, должно быть

Иными словами, для любого поворота S®U базиса, если рассматривать его как два последовательных поворота S®Т и Т®U, можно получить матрицу поворота ruskiиз матриц двух частных поворотов при помощи формулы (4.11). Если угодно, (4.11) следует прямо из (4.1) и представляет собой лишь другую запись формулы:

Для полноты добавим еще следующее. Но не думайте, что это будет что-то страшно важное; если хотите, переходите, не читая, прямо к следующему параграфу. Надо сознаться, что то, что мы сказали, не совсем верно. Мы не можем на самом деле утверждать, что (4.9) и (4.10) обязаны привести к абсолютно одинаковым амплитудам. Одинаковыми должны оказаться только физические результаты; сами же амплитуды, могут отличаться на общий фазовый множитель типа eid, не меняя результатов никаких расчетов, касающихся реального мира. Иначе говоря, вместо (4.11) единственное, что можно утверждать,— это

где d — какая-то вещественная постоянная величина. Смысл этого добавочного множителя еid, конечно, в том, что амплитуды, которые мы получим, пользуясь матрицей RUS, могут все отличаться на одну и ту же фазу (е-id) от амплитуд, которые получились бы из двух поворотов RUTи RTS. Но мы знаем, что если все амплитуды изменить на одинаковую фазу, то это ни на чем не скажется. Так что при желании можно этот фазовый множитель просто игнорировать. Оказывается, однако, что если определить нашу матрицу поворота особым образом, то этот фазовый множитель вообще не появится: б в (4.12) всегда будет нулем. Хотя это и не отражается на наших дальнейших рассуждениях, мы беремся это быстро доказать, пользуясь математической теоремой о детерминантах. [А если вы до сих пор мало знакомы с детерминантами, то не следите за доказательством и прямо переходите к определению (4.15).)

Во-первых, следует напомнить, что (4.11) — это математическое определение «произведения» двух матриц. (Просто очень удобно говорить «RUSесть произведение RUTи RTS».) Во-вторых, существует математическая теорема (которую для используемых здесь матриц 2X2 вы легко докажете), утверждающая, что детерминант «произведения» двух матриц есть произведение их детерминантов. Применив эту теорему к (4.12), получим

(Мы отбрасываем нижние индексы, они здесь ничего полезного нам не сообщают.) Да, слева стоит 2S! Вспомните, что мы имеем дело с матрицами 2x2; каждый член в матрице RUSkiумножен на еid, а каждый член в детерминанте (состоящий из двух множителей) получается умножением на еi^2d. Извлечем из (4.13) корень и разделим на него (4.12):

Добавочный фазовый множитель исчез.

Дальше оказывается, что если мы хотим, чтобы все наши амплитуды в любом заданном представлении были нормированы (а это, как вы помните, означает, что

то у всех матриц поворота детерминанты окажутся чисто мнимыми экспонентами, наподобие еia. (Мы не будем этого доказывать; вы сами потом увидите, что это всегда так.) Значит, мы сможем, если захотим, выбрать все наши матрицы поворота R так, чтобы фаза их получалась однозначно, взяв DetR=1. Это будет делаться так. Пусть мы каким-то произвольным образом определили матрицу поворота R. Возьмем за правило «приводить» ее к «стандартной форме», определяя

Для получения однозначных фаз мы просто умножаем каждый член в R на один и тот же фазовый множитель. В дальнейшем мы будем всегда предполагать, что наши матрицы были приведены к «стандартной форме»; тогда мы сможем пользоваться прямо формулой (4.11) без каких-либо добавочных фазовых множителей.

§ 3. Повороты вокруг оси z

Теперь мы уже подготовлены к тому, чтобы отыскать матрицу преобразования Rji, связывающую два разных представления, Владея нашим правилом объединения поворотов и нашим предположением, что в пространстве нет предпочтительного направления, мы владеем ключом для отыскания матрицы любого произвольного поворота. Решение здесь только одно. Начнем с преобразования, которое отвечает повороту вокруг оси z. Пусть имеются два прибора S и Т, поставленных друг за другом вдоль одной прямой; оси их параллельны и смотрят из страницы на вас (фиг. 4.4, а).

Фиг. 4.4. Поворот на 90° вокруг оси z.

Это их направление мы примем за ось z. Ясно, что если пучок в приборе S идет вверх (к +z), то то же будет и в аппарате Т. Точно так же, если он в S идет вниз, то и в Т он направится вниз. Положим, однако, что прибор Т был повернут на какой-то угол, но его ось, как и прежде, параллельна оси прибора S, как на фиг. 4.4, б. Интуитивно хочется сказать, что пучок (+) в S будет по-прежнему переходить в пучок (+) в Т, потому что и поля, и их градиенты характеризуются тем же физическим направлением. И это вполне правильно. Точно так же и пучок (-) в S будет переходить в пучок (-) в Т. Тот же результат применим для любой ориентации Т в плоскости ху прибора S. Что же отсюда следует для связи между С'+=<+T|y>, С'-=<-T|y> и С+=<+S|y>, С-=<-S |y>? Можно подумать, что любой поворот вокруг оси z «системы отсчета» базисных состояний оставляет амплитуды С± пребывания «вверху» и «внизу» теми же, что и раньше, и написать С'+=С+и С'-=С-. Но это неверно. Все, что можно отсюда заключить,— это, что при таких поворотах вероятности оказаться в «верхнем» пучке приборов S и Т одинаковы, т. е.

Но мы не вправе утверждать, что фазы амплитуд, относящихся к прибору Т, не могут в двух различных ориентациях а и б (фиг. 4.4) различаться.

Пары приборов, показанных на фиг. 4.4, на самом деле отличаются друг от друга, в чем можно убедиться следующим образом. Предположим, что мы перед прибором S поставили другой, создающий чистое (+x)-состояние. (Ось х направлена на рисунке вниз.) Эти частицы расщеплялись бы в S на пучки (+z) и (-z), но на выходе S (в точке Р_1) оба пучка снова соединялись бы и восстанавливали состояние (+ х). Затем то же самое происходило бы в Т. Если бы за Т поставить третий прибор U, ось которого направлена по (+ х). как показано на фиг. 4.5, а, то все частицы пошли бы в пучок (+) прибора U.

Фиг. 4.5. Частица в состоянии (+х) ведет себя в опытах а и б по-разному.

Теперь представим, что произойдет, если Т и U вместе повернуть на 90°, как показано на фиг. 4.5, б. Прибор Т опять будет пропускать все, что в него поступает, так что частицы, входящие в U, будут в (+x)-состоянии по отношению к S. Но U теперь анализирует состояние (+y) (по отношению к S), а это совсем не то, что раньше. (Из симметрии следует ожидать, что через него пройдет только половина частиц.)

Что же могло перемениться? Приборы Т и U по отношению друг к другу расположены одинаково. Могла ли измениться физика просто из-за того, что Т и U иначе ориентированы? Нет, гласит наше первоначальное предположение. Значит, различаться в двух случаях, показанных на фиг. 4.5, должны амплитуды по отношению к Т. То же должно быть, следовательно, и на фиг. 4.4. Частица должна как-то уметь узнавать, что в Р_1 она завернула за угол. Как же она может об этом поведать? Что ж, остается только одно: величины С'+ и С'+в обоих случаях одинаковы, но могут — а на самом деле должны — обладать разными фазами. Мы приходим к заключению, что С'+и С+должны быть связаны формулой

а С'-и С —формулой

где l, и m — вещественные числа, которые как-то должны быть связаны с углом между S и Т.

В данный момент единственное, что мы можем сказать про lи m,— это то, что они не могут быть равны друг другу (кроме показанного на фиг. 4.5, а особого случая, когда Т и S ориентированы одинаково). Мы видели, что изменение всех амплитуд на одну и ту же фазу ни к каким физическим следствиям не приводит. По той же причине всегда можно добавить к lи mлюбое постоянное число — это тоже ничего не изменит. Значит, нам представляется возможность выбрать lи mравными плюс и минус одному и тому же числу. Всегда можно взять

Тогда

Итак, мы договоримся считать m=-l и придем к общему правилу, что поворот прибора, относительно которого ведется отсчет, вокруг оси z на какой-то угол приводит к преобразованию

Абсолютные значения одинаковы, а фазы различны. Эти-то фазовые множители и отвечают за различные результаты двух опытов, показанных на фиг. 4.5.

Теперь надо узнать закон, связывающий X с углом между S и Т. Для одного случая ответ известен. Если угол — нуль, то и l — нуль. Теперь предположим, что фазовый сдвиг l, есть непрерывная функция угла j между S и Т (см. фиг. 4.4) при j, стремящемся к нулю. По-видимому, это единственное разумное допущение. Иными словами, если свернуть Т с прямой линии S на малый угол e, то и lтоже будет малым числом, скажем me, где m — некоторый коэффициент. Мы пишем те, потому что можем доказать, что l обязано быть пропорционально e. Если бы мы поставили за T новый прибор Т, тоже образующий с Т угол e, а с S тем самым образующий угол 2e, то по отношению к Т мы бы имели

а по отношению к T'

Но мы знаем, что, должны были бы получить тот же результат если бы сразу за S поставили Т'!Значит, когда угол удваивается, то удваивается и фаза. Эти аргументы мы можем, естественно, обобщить и построить любой поворот из последовательных бесконечно малых поворотов. Мы заключаем, что К пропорционально j для любого угла j. Поэтому всегда можно писать l=mj.

Общий полученный нами результат состоит, следовательно, в том, что для Т, повернутого вокруг оси z относительно S на угол j,

Для угла j и для всех поворотов, которые встретятся нам в будущем, мы условимся считать, что положительным поворотом будет поворот правого винта, который ввинчивается в положительном направлении z.

Теперь остается узнать, каким должно быть m. Попробуем сперва следующее рассуждение: пусть Т повернулся на 360°; ясно, что тогда он опять очутится под нулем градусов, и мы должны будем иметь С'+=С+и С'-= С-, или, что то же самое, eim^2p=1. Мы получаем m=1. Это рассуждение не годится!

Чтобы убедиться в этом, допустим, что Т повернут на 180°. Если бы т было равно единице, мы получили бы

Но это просто опять получилось первоначальное состояние. Обе амплитуды попросту умножены на -1; это возвращает нас к исходной физической системе. (Опять случай всеобщей перемены фаз.) Это означает, что если угол между Т и S на фиг. 4.5, б увеличивается на 180°, то система (по отношению к Т) оказывается неотличимой от случая 0° и частицы должны опять проходить через состояние (+) прибора U. Но при 180° состояние (+) прибора U — это состояние (-х) начального прибора S. Так что состояние (+x) станет состоянием (-х). Но мы-то ведь ничего не делали для изменения начального состояния; ответ поэтому ошибочен. Не может быть, чтобы т=1.

Нет, все должно быть иначе: надо, чтобы только поворот на 360° (и ни на какие меньшие углы) воспроизводил то же самое физическое состояние. Это случится при m =1/2. Тогда и только тогда первым углом, воспроизводящим то же самое физическое состояние, будет угол φ=360°. При этом будет

Очень курьезно вдруг обнаружить, что поворот прибора на 360° приводит к новым амплитудам. Но на самом деле они не новы, потому что одновременная перемена знака ни к какой новой физике не приводит. Если кто-нибудь задумает переменить все знаки у всех амплитуд, подумав, что он повернулся на 360°, то это его дело — физику он получит ту же, прежнюю. Итак, наш окончательный ответ таков: если мы знаем амплитуды С+и С-для частиц со спином 1/2 по отношению к системе отсчета S и если затем мы используем базисную систему, связанную с Т (Т получается из S поворотом на j относительно оси z), то новые амплитуды выражаются через старые так:

§ 4. Повороты на 180° и па 90° вокруг оси у

Теперь попробуем подобрать преобразование для поворота Т (по отношению к S) на 180° вокруг оси, перпендикулярной к оси z, скажем вокруг оси у. (Оси координат мы определили на фиг. 4.1.) Иными словами, берутся два одинаковых прибора Штерна — Герлаха и второй из них, Т, переворачивается относительно первого, S, «вверх ногами» (фиг. 4.6).

Фиг. 4.6. Поворот на 180° вокруг оси у.

Если рассматривать частицы как маленькие магнитные диполи, то частица, которая находится в состоянии (+S) (в первом приборе она избирает «верхний» путь), и во втором приборе избирает «верхний» путь, т. е. окажется по отношению к Г в минус-состоянии. (В перевернутом приборе Т переворачиваются и поле, и направление его градиента; для частицы с заданным направлением магнитного момента сила не меняется.) То, что для S было «верхом», то для Т будет «низом». Для такого относительного расположения S и Т преобразования, естественно, должны дать

Как и раньше, нельзя исключить добавочные фазовые множители; на самом деле может оказаться, что

где b и g еще подлежат определению.

А что можно сказать о повороте вокруг оси у на угол 360° Мы уже знаем ответ для поворота на 360° вокруг оси z: амплитуда пребывания в любом состоянии меняет знак. Повороты на 360° вокруг любой оси всегда приводят прибор в прежнее положение. Таким образом, результат любого поворота на 360° должен быть таким же, как и при повороте на 360° вокруг оси z,—все амплитуды должны просто переменить знак. Теперь представим себе два последовательных поворота на 180° вокруг оси у по формуле (4.20); после них должен получиться результат (4.18). Иными словами,

Это означает, что

Следовательно, g=-b+p, и преобразование для поворота на 180° вокруг оси у может быть записано так:

Рассуждения, которыми мы только что пользовались, в равной степени применимы к поворотам на 180° вокруг любой оси в плоскости ху, хотя, конечно, повороты вокруг разных осей дадут для b разные числа. Но это единственное, чем они могут отличаться. В числе b имеется известный произвол, но, как только оно определено для какой-то одной оси в плоскости ху, оно определяется и для всех прочих осей. Принято выбирать b=0 для поворотов на 180° вокруг оси у.

Чтобы показать, что свобода такого выбора у нас есть, предположим, что мы решили, что b не равно нулю для поворота вокруг оси y; тогда можно показать, что в плоскости ху существует какая-то другая ось, для которой соответствующая фаза будет нулем. Найдем фазовый множитель bA для оси А, образующей с осью у угол a, как показано на фиг. 4.7, а.

Фиг. 4.7. Поворот на 180° вокруг оси А (а) эквивалентен повороту на 180° вокруг оси у (б), за которым следует поворот вокруг оси z' (в).

(Для удобства на рисунке угол а отрицателен, но это неважно.) Если теперь мы возьмем прибор Т, первоначально направленный гак же, как и S, а потом повернем его вокруг оси А на 180°, то его оси — назовем их х", у", z"— расположатся так, как на фиг. 4,7, а. Амплитуды по отношению к Т тогда станут

Но той же самой ориентации можно добиться двумя последовательными поворотами, показанными на фиг. 4.7, б и в. Возьмем сначала прибор U, повернутый по отношению к S на 180° вокруг оси у. Оси х', у' и z' прибора U будут такими, как на фиг. 4.7, б, а амплитуды по отношению к U будут даваться формулой (4.22).

Заметьте теперь, что от U к T можно перейти, повернув прибор U вокруг «оси z», т. е. вокруг z', как показано на фиг. 4.7, в. Из рисунка видно, что требуемый угол вдвое больше угла а, но направлен в обратную сторону (по отношению к z"). Используя преобразование (4.19) с j=-2a, получаем

Подставляя (4.22) в (4.24), получаем

Эти амплитуды, конечно, должны совпасть с полученными в (4.23). Значит, bAдолжно быть связано с a и b формулой

bA=b-a. (4.26) Это означает, что если угол a между осью А и осью у (прибоpa S) равен b то в преобразовании поворота на 180° вокруг оси А будет стоять bA=0.

Но коль скоро у какой-то из осей, перпендикулярных к оси z, может оказаться b=0, то ничто не мешает принять эту ось за ось у. Это всего лишь вопрос соглашения, и мы примем это в общем случае. Итог: для поворота на 180° вокруг оси у мы имеем

Продолжая размышлять о поворотах вокруг оси у, перейдем теперь к матрице преобразования для поворотов на 90°. Мы в состоянии установить ее вид, оттого что знаем, что два последовательных поворота на 90° вокруг одной и той же оси — это то же самое, что один поворот на 180°. Напишем преобразование для 90° в самой общей форме:

Второй поворот на 90° вокруг той же оси обладал бы теми же коэффициентами:

Подставляя (4.28) в (4.29), получаем

Однако из (4.27) нам известно, что

так что должно быть

(4.31)

Этих четырех уравнений вполне хватает, чтобы определить все наши неизвестные а, b, с и d. Сделать это нетрудно. Посмотрите на второе и четвертое уравнения. Вы видите, что a^2=d^2, откуда либо a=d, либо a=-d. Но последнее отпадает, потому что тогда не выполнялось бы первое уравнение. Значит, d=a. А тогда сразу же выходит b=1/2a и с=-1/2а. Теперь все выражено через а. Подставляя, скажем, во второе

уравнение значения b и с, получаем

а^2 -1/4a^2 = 0. или а^4 =1/4.

Из четырех решений этого уравнения только два приводят к детерминанту стандартной формы. Мы можем принять а=1/Ц2;

тогда

Иными словами, для двух приборов S и T при условии, что Т повернут относительно S на 90° вокруг оси у, преобразование имеет вид

Эти уравнения можно, конечно, разрешить относительно С+ и С-; это даст нам преобразование при повороте вокруг оси у на -90°. Переставив еще и штрихи, мы напишем

§ 5. Повороты вокруг оси х

Вы, пожалуй, подумаете: «Это становится смешным. Чему же нас теперь будут учить— поворотам на 47° вокруг оси у, потом на 33° вокруг x? Долго ли это будет продолжаться?» Нет, оказывается, я почти все рассказал. Зная только два преобразования — на 90° вокруг оси у и на произвольный угол вокруг оси z (как вы помните, именно с этого мы начали),— мы уже способны производить любые повороты.

Для иллюстрации предположим, что нас интересует поворот на угол а вокруг оси х. Мы знаем, как быть с поворотом на угол а вокруг оси z, но нам нужен поворот вокруг оси х. Как его определить? Сперва повернем ось z вниз до оси х, а это есть поворот на +90° вокруг оси у (фиг. 4.8).

Фиг. 4.8. Поворот на угол a вокруг оси х равнозначен повороту на +90° вокруг оси у (а), за которым следует поворот ни а вокруг оси z' (б), вслед за которым происходит поворот на -90° вокруг оси. у" (в).

Затем вокруг оси z' повернемся на угол a. А потом повернемся на -90° вокpуг оси у".

Итог этих трех поворотов тот же самый, что при повороте вокруг оси х на угол a. Таково свойство пространства. (Все эти сочетания поворотов их результат очень трудно себе представить. Не правда ли, странно, что, живя в трех измерениях, мы все же с трудом воспринимаем, что произойдет, если сперва повернуться так, а потом еще как-нибудь. Вероятно, если бы мы были птицами или рыбами и если а мы на собственном опыте знали, что бывает, когда все время крутишь разные сальто в пространстве, нам было бы легче воспринимать подобные вещи.) Во всяком случае, давайте выведем преобразование для поворота на угол а вокруг оси х, пользуясь тем, что нам уже известно. При первом повороте на +90° вокруг оси у амплитуды следуют закону (4.32). Если повернутые оси обозначить х', y' и z', то последующий поворот на угол а вокруг оси z переводит нас в систему отсчета х". у", z", для которой

Последний поворот на -90° вокруг оси у" переводит нас в систему х'", у'", z'"; из(4.33) следует

Сочетая эти два последних преобразования, получаем

Подставляя сюда вместо С'+и С'- (4.32), придем к полному преобразованию

А если вспомнить, что

то эти формулы можно записать проще:

Это и есть наше искомое преобразование для поворота вокруг оси х на любой угол a. Оно лишь чуть посложнее остальных,

§ 6. Произвольные повороты

Теперь уже понятно, как быть с произвольным поворотом. Во-первых, заметьте, что любая относительная ориентация двух систем координат может быть описана тремя углами (фиг. 4.9).

Фиг. 4.9. Ориентацию любой системы координат х', у', г' по отношению к другой системе х, у, z можно определить с помощью углов Эйлера a, b, g.

Если есть система осей х', у', z', ориентированных относительно х, у, z как угодно, то соотношение между ними можно описать тремя углами Эйлера a, b и g, определяющими три последовательных поворота, которые переводят систему х, у, z в систему х', у', z' . Отправляясь от x, у, z, мы поворачиваем нашу систему на угол bets вокруг оси z, перенося ось х на линию х'. Затем мы проводим поворот на угол а вокруг этой временной оси х_1, чтобы довести ось z до z'. Наконец, поворот вокруг новой оси z (т. е. вокруг z') на угол g переведет ось х_1в х', а ось у в у'. Мы знаем преобразования для каждого из трех поворотов — они даются формулами (4.19) и (4.34). Комбинируя их в нужном порядке, получаем

Итак, начав просто с некоторых предположений о свойствах пространства, мы вывели преобразование амплитуды при любом повороте. Это означает, что если нам известны амплитуды того, что любое состояние частицы со спином 1/2 перейдет в один из двух пучков прибора Штерна — Герлаха S с осями х, у, z, то мы можем подсчитать, какая часть перейдет в каждый пучок в приборе Т с осями х', у' и z'. Иначе говоря, если имеется состояние yчастицы со спином 1/2, у которого амплитуды пребывания вверху и внизу по отношению к оси z системы координат х, у, z равны С+=<+|y> и С-=<-|y>, то тем самым мы знаем амплитуды С+и C- пребывания вверху и внизу по отношению к оси z' любой другой системы х', у", z' , Четверка коэффициентов в (4.35) — это члены «матрицы преобразования», с помощью которой можно проецировать амплитуды частицы со спином 1/2 в другие системы координат.

Теперь решим несколько примеров, чтобы посмотреть, как все это работает. Возьмем следующий простой вопрос. Пустим атом со спином 1/2 через прибор Штерна — Герлаха, пропускающий только состояние (+z). Какова амплитуда того, что атом окажется в состоянии (+x)? Ось +х — это все равно, что ось +z' системы, повернутой на 90° вокруг оси у. Поэтому в этой задаче проще воспользоваться выражением (4.32), хотя, конечно, можно применить и полное уравнение (4.35). Поскольку С+=1 и С-=0, то получится С'+=1/Ц2. Вероятности -это квадраты модулей этих амплитуд; таким образом, 50% шансов за то, что частица пройдет сквозь прибор, отбирающий состояние (+х). Если бы мы поинтересовались состоянием (-х), то амплитуда оказалась бы -1/Ц2, что опять дало бы вероятность 1/2, чего и следовало ожидать из симметрии пространства. Итак, если частица находится в состоянии (+z), то ей в равной степени вероятно побывать в состояниях (+x) и (-х). Но фазы противоположны.

Ось у тоже без претензий. Частица в состоянии (+z) имеет равные шансы быть в состоянии (+у) или (-у). Но теперь (согласно формуле для поворота на -90° вокруг оси х) амплитуды суть l/Ц2 и -i/Ц2. В этом случае разница в фазах двух амплитуд уже не 180°, как было для (+х)и (-х), а 90°. В этом-то и проявляется различие между х и у.

Вот еще пример. Пусть нам известно, что частица со спином 1/2 находится в состоянии y, поляризованном вверх относительно оси А, определяемой углами q и j (фиг. 4.10).

Фиг. 4.10. Ось А, определяемая полярными углами q и j.

Мы хотим знать амплитуду <C+|y> того, что частица относительно оси z окажется в состоянии «вверх», и амплитуду <C-|y> того, что она окажется в состоянии «вниз» относительно той же оси z. Эти амплитуды мы можем найти, вообразив, что А есть ось z' системы, у которой ось х' направлена произвольно, скажем лежит в плоскости, образованной А и z. Тогда можно перевести систему А в систему х, у, z тремя поворотами. Во-первых, надо сделать поворот на -p/2 вокруг оси A, что переведет ось x в линию В на рисунке. Затем повернуть на — 0 вокруг линии В (вокруг новой оси х системы А), чтобы ось А попала на ось z. И, наконец, повернуть вокруг оси z на угол (p/2-j).

Вспоминая, что вначале было только одно состояние (+) по отношению к А, получаем

Мы хотели бы напоследок подытожить результаты этой главы в форме, которая окажется полезной для нашей дальнейшей работы. Во-первых, напомним, что наш основной результат (4.35) может быть записан в других обозначениях. Заметьте, что (4.35)— это то же самое, что и (4.4) Иначе говоря, в (4.35) коэффициенты при С+=<+S|y> и C'-= <-S|y> суть как раз амплитуды <jT|iS>в (4.4), амплитуды того, что частица в состоянии i по отношению к S окажется в состоянии j по отношению к Т (когда ориентация Т по отношению к S дается углами a, b и g). Мы их также называли RTSjiв выражении (4.6). (Чего-чего, а обозначений у нас хватало!) Например,— это коэффициент при С+в формуле для С- , а именно isin(a/2)exp[i(b-g)/2]. Поэтому сводку наших результатов мы можем дать в виде табл. 4.1.

Было бы удобно иметь эти амплитуды расписанными для некоторых особо важных случаев. Пусть Rz(j) — поворот на угол j вокруг оси z. Так же можно обозначить и соответствующую матрицу поворота (опуская молчаливо подразумеваемые индексы i и j). В том же смысле Rx(j) и Ry(j) будут обозначать повороты на угол j вокруг оси х и оси у,

В табл. 4.2 мы приводим матрицы — таблицы амплитуд <jT|iS>, которые проецируют амплитуды из системы S в систему Т, где Т получается из S указанным поворотом.

* Нетрудно показать, что систему х, у, z можно перевести в систему х', у', z' следующими тремя поворотами вокруг первоначальных осей: 1) повернуть на угол g вокруг первоначальной оси z; 2) повернуть на угол а вокруг первоначальной оси х; 3) повернуть на угол b вокруг первоначальной оси z.

* Второе решение меняет все знаки у а, b, с, d и отвечает повороту на -270°.

* Заметим, что если последовательность малых поворотов приведет в конце концов к первоначальной ориентации предмета, то всегда есть возможность, проследив всю историю, отличить поворот на 360° от поворота на 0° (но интересно, что для поворота на 720° это неверно).

* Конечно, подошло бы и m=-1/2. Однако из (4.17) ясно, что изменение знака просто переопределит понятие «спин вверх».

* Можно посмотреть на это и иначе. Мы просто производим преобразование к «стандартной форме», описанное в § 2, используя формулу (4.15).

* Эта глава — не что иное, как весьма абстрактное и длинное отступление от основной линии рассказа; в ней нет каких-либо новых идей, которые бы не появлялись иным путем в дальнейших главах. Поэтому можете спокойно пропустить ее, а позже, если заинтересуетесь, вернуться.

Глава 5

ЗАВИСИМОСТЬ АМПЛИТУД ОТ ВРЕМЕНИ

§ 1. Покоящиеся атомы; стационарные состояния

§ 2.Равномерное движение

§ 3.Потенциальная энергия; сохранение энергии

§ 4.Силы; классический предел

§ 5. «Прецессия» частицы со спином 1/2

Повторить: гл. 17 (вып. 2) «Пространство-время»; гл. 48 (вып. 4) «Биения»

§ 1. Покоящиеся атомы; стационарные состояния

Мы хотим теперь немного рассказать о том, как ведут себя амплитуды вероятности во времени. Мы говорим «немного», потому что на самом деле поведение во времени с необходимостью включает в себя и поведение в пространстве. Значит, пожелав описать поведение со всей корректностью и детальностью, мы немедленно очутимся в весьма сложном положении. Перед нами возникает наша всегдашняя трудность — то ли изучать нечто строго логически, но абсолютно абстрактно, то ли не думать о строгости, а давать какое-то представление об истинном положении вещей, откладывая более тщательное исследование на позже. Сейчас, говоря о зависимости амплитуд от энергии, мы намерены избрать второй способ. Будет высказан ряд утверждений. При этом мы не будем стремиться к строгости, а просто расскажем вам о том, что было обнаружено, чтобы вы смогли почувствовать, как ведут себя амплитуды во времени. По мере хода нашего изложения точность описания будет возрастать, так что, пожалуйста, не нервничайте, видя, как фокусник будет извлекать откуда-то из воздуха разные вещи. Они и впрямь берутся из чего-то неосязаемого — из духа эксперимента и из воображения многих людей. Но проходить все стадии исторического развития предмета — дело очень долгое, кое-что придется просто пропустить. Можно было бы погрузиться в абстракции и все строго выводить (но вы вряд ли бы это поняли) или пройти через множество экспериментов, подтверждая ими каждое свое утверждение. Мы выберем что-то среднее.

Одиночный электрон в пустом пространстве может при некоторых условиях обладать вполне определенной энергией Например, если он покоится (т. е. не обладает ни перемещательным движением, ни импульсом, ни кинетической энергией), то у него есть энергия покоя. Объект посложнее, например атом, тоже может, покоясь, обладать определенной энергией, но он может оказаться и внутренне возбужденным -возбужденным до другого уровня энергии. (Механизм этого мы опишем позже.) Часто мы вправе считать, что атом в возбужденном состоянии обладает определенной энергией; впрочем, на самом деле это верно только приближенно. Атом не остается возбужденным навечно, потому что он всегда стремится разрядить свою энергию, взаимодействуя с электромагнитным полем. Так что всегда есть некоторая амплитуда того, что возникнет новое состояние — с атомом в низшем состоянии возбуждения и электромагнитным полем в высшем. Полная энергия системы и до, и после — одна и та же, но энергия атома уменьшается. Так что не очень точно говорить, что у возбужденного атома есть определенная энергия; но часто так говорить удобно и не очень неправильно.

[Кстати, почему все течет в одну сторону и не течет в другую? Отчего атом излучает свет? Ответ связан с энтропией Когда энергия находится в электромагнитном поле, то перед ней открывается столько разных путей — столько разных мест, куда она может попасть,— что, отыскивая условие равновесия, мы убеждаемся, что в самом вероятном положении поле оказывается возбужденным одним фотоном, а атом — невозбужденным. И фотону требуется немалое время, чтобы возвратиться и обнаружить, что он может возбудить атом обратно, Это полностью аналогично классической задаче: почему ускоряемый заряд излучает? Не потому, что он «хочет» утратить энергию, нет, ведь на самом-то деле, когда он излучает, энергия мира остается такой же, как и прежде. Просто излучение или поглощение всегда идет в направлении роста энтропии.

Ядра тоже могут существовать на разных энергетических уровнях, и в том приближении, когда пренебрегают электромагнитными эффектами, мы вправе говорить, что ядро в возбужденном состоянии таким и остается. Хоть мы и знаем, что оно не останется таким навсегда, часто бывает полезно исходить из несколько идеализированного приближения, которое проще рассмотреть. К тому же в некоторых обстоятельствах — это узаконенное приближение. (Когда мы впервые вводили классические законы падения тел, мы не учитывали трения, а ведь почти не бывает так, чтобы трения вовсе не было.)

Кроме того, существуют еще «странные частицы» с различными массами. Но более массивные из них распадаются на более легкие, так что опять неправильно будет говорить, будто их энергия точно определена. Это было бы верно, если бы они сохранялись навечно. Так что когда мы приближенно считаем их обладающими определенной энергией, то забываем при этом, что они должны распасться. Но сейчас мы нарочно забудем про такие процессы, а после, со временем выучимся принимать во внимание и их.

Пусть имеется атом (или электрон, или любая частица), обладающий в состоянии покоя определенной энергией E_0. Под энергией Е_0мы подразумеваем массу всего этого, умноженную на с^2. В массу входит любая внутренняя энергия; стало быть, масса возбужденного атома отличается от массы того же атома, но в основном состоянии. (Основное состояние означает состояние с наинизшей энергией.) Назовем Е_0«энергией покоя». Для атома, находящегося в состоянии покоя, квантовомеханическая амплитуда обнаружить его в каком-то месте всюду одно и та же; от положения она не зависит. Это, разумеется, означает, что вероятность обнаружить атом в любом месте — одна и та же. Но это означает даже большее. Вероятность могла бы не зависеть от положения, а фаза амплитуды при этом могла бы еще меняться от точки к точке. Но для частицы в покое полная амплитуда всюду одинакова. Однако она зависит от времени. Для частицы в состоянии определенной энергии Е_0, амплитуда обнаружить частицу в точке (х, у, z) в момент t равна

где а — некоторая постоянная. Амплитуда пребывания в такой-то точке пространства для всех точек одинакова, но зато зависит от времени согласно (5.1). Мы просто допустим, что это правило верно всегда.

Можно, конечно, (5.1) записать и так:

где

а М — масса покоя атомного состояния или частицы. Существуют три разных способа определения энергии: по частоте амплитуды, по энергии в классическом смысле или по инертной массе. Все они равноценны; это просто разные способы выражать одно и то же.

Вам может показаться, что странно представлять себе «частицу», обладающую одинаковыми амплитудами оказаться в пространстве где угодно. Ведь, помимо прочего, мы всегда представляем себе «частицу» как небольшой предмет, расположенный «где-то». Но не забудьте о принципе неопределенности. Если частица обладает определенной энергией, то и импульс у нее определенный. Если неопределенность в импульсе равна нулю, то соотношение неопределенностей DрDx=h говорит, что неопределенность в положении должна быть бесконечной; именно это мы и утверждаем, говоря, что существует одинаковая амплитуда обнаружить частицу во всех точках пространства.

Если внутренние части атома находятся в другом состоянии с другой полной энергией, тогда амплитуда меняется во времени по-другому. А если вы не знаете, в каком состоянии находится атом, то появится некоторая амплитуда пребывания в одном состоянии и некоторая амплитуда пребывания в другом, и у каждой из этих амплитуд будет своя частота. Между этими двумя разными компонентами появится интерференция наподобие биений, которые могут проявиться как переменная вероятность. Внутри атома будет что-то «назревать», даже если он будет «в покое» в том смысле, что его центр масс не будет двигаться. Если же атом обладает только одной определенной энергией, то амплитуда дается формулой (5.1) и квадрат модуля амплитуды от времени не зависит. Следовательно, вы видите, что если энергия какой-то вещи определена и если вы задаете вопрос о вероятности чего-то в этой вещи, то ответ от времени не зависит. Хотя сами амплитуды от времени зависят, но если энергия определенная, они изменяются как мнимая экспонента и абсолютное значение (модуль) их не меняется.

Вот почему мы часто говорим, что атом на определенном энергетическом уровне находится в стационарном состоянии. Если вы что-то внутри него измеряете, вы обнаруживаете, что ничего (по вероятности) во времени не меняется. Чтобы вероятность менялась во времени, должна быть интерференция двух амплитуд при двух разных частотах, а это означало бы, что неизвестно, какова энергия. У предмета были бы одна амплитуда пребывания в состоянии с одной энергией и другая амплитуда пребывания в состоянии с другой энергией. Так в квантовой механике описывается что-то, если поведение этого «чего-то» зависит от времени.

Если имеется случай, когда смешаны два различных состояния с разными энергиями, то амплитуды каждого из двух состояний меняются со временем согласно уравнению (5.2), скажем, как

И если имеется комбинация этих двух состояний, то появится интерференция. Но заметьте, что добавление к обеим энергиям одной и той же константы ничего не меняет. Если кто-то другой пользовался другой шкалой энергий, на которой все энергии сдвинуты на константу (скажем, на А), то амплитуды оказаться в этих двух состояниях, с его точки зрения, были бы

Все его амплитуды оказались бы умноженными на один и тот же множитель

ехр[-i(A/h)/t], и во все линейные комбинации, во все интерференции вошел бы тот же множитель. Вычисляя для определения вероятностей модули, он пришел бы к тем же ответам. Выбор начала отсчета на нашей шкале энергий ничего не меняет; энергию можно отсчитывать от любого нуля. В релятивистских задачах приятнее измерять энергию так, чтобы в нее входила масса покоя, но для многих других нерелятивистских целей часто лучше вычесть из всех появляющихся энергий стандартную величину. Например, в случае атома обычно бывает удобно вычесть энергию Мsс^2, где Мs— масса отдельных его частей, ядра и электронов, отличающаяся, конечно, от массы самого атома. В других задачах полезно бывает вычесть из всех энергий число Mgc^2, где Mg— масса всего атома в основном состоянии; тогда остающаяся энергия есть просто энергия возбуждения атома. Значит, порой мы имеем право сдвигать, наш нуль энергии очень и очень сильно, и это все равно ничего не меняет (при условии, что все энергии в данном частном расчете сдвинуты на одно и то же число). На этом мы расстанемся с покоящимися частицами.

§ 2. Равномерное движение

Если мы предполагаем, что теория относительности верна, то частица, покоящаяся в одной инерциальной системе, в другой инерциальной системе может оказаться в равномерном движении. В системе покоя частицы амплитуда вероятности для всех х, у и z одинакова, но зависит от t. Величина амплитуды для всех t одинакова, а фаза зависит от t. Мы можем получить картину поведения амплитуды, если проведем линии равной фазы (скажем, нулевой) как функций х и t. Для частицы в покое эти линии равной фазы параллельны оси х и расположены по оси t на равных расстояниях (показано пунктирными линиями на фиг. 5.1).

Фиг. 5.1. Релятивистское преобразование амплитуды покоящейся. частицы в систему х—t.

В другой системе, х', у', z' , t', движущейся относительно частицы, скажем, в направлении х, координаты х' и t' некоторой частной точки пространства связаны с х и t преобразованием Лоренца. Это преобразование можно изобразить графически, проведя оси х' и t', как показано на фиг. 5.1 [см. гл. 17 (вып. 2), фиг. 17.2]. Вы видите, что в системе х'-—t' точки равной фазы вдоль оси t' расположены на других расстояниях, так что частота временных изменений уже другая. Кроме того, фаза меняется и по х'. т. е. амплитуда вероятности должна быть функцией х'.

При преобразовании Лоренца для скорости v направленной, скажем, вдоль отрицательного направления х. время t связано со временем t' формулой

и теперь наша амплитуда меняется так:

В штрихованной системе она меняется в пространстве и во времени. Если амплитуду записать в виде

то видно, что Е'р=Е_0/Ц(1-v^2/с^2). Это энергия, вычисленная по классическим правилам для частицы с энергией покоя Е_0, движущейся со скоростью v; p'=E'pv/c^2— соответствующий импульс частицы.

Вы знаете, что хm=(t, х, y, z) и рm=(Е, рх, рy, рг) — четырехвекторы, a pmxm= Et-р·х —скалярный инвариант. В системе покоя частицы pmxmпросто равно Et; значит, при преобразовании в другую систему Et следует заменить на

Итак, амплитуда вероятности для частицы, импульс которой есть р, будет пропорциональна

где Ер — энергия частицы с импульсом р, т. е.

а Е_0, как и прежде, —энергия покоя. В нерелятивистских задачах можно писать

где Wp— избыток (или нехватка) энергии по сравнению с энергией покоя Мsс^2 частей атома. В общем случае в Wpдолжны были бы войти и кинетическая энергия атома, и его энергия связи или возбуждения, которые можно назвать «внутренней» энергией. Тогда мы бы писали

а амплитуды имели бы вид

Мы собираемся все расчеты вести нерелятивистски, так что именно таким видом амплитуд вероятностей мы и будем пользоваться.

Заметьте, что наше релятивистское преобразование снабдило нас формулой для изменения амплитуды атома, движущегося в пространстве, не требуя каких-либо добавочных допущений. Волновое число ее изменений в пространстве, как это следует из (5.9), равно

а, значит, длина волны

Это та самая длина волны, которую мы раньше использовали для частиц с импульсом р. Именно таким путем де-Бройль впервые пришел к этой формуле. Для движущейся частицы частота изменения амплитуды по-прежнему дается формулой

Абсолютная величина (5.9) равна просто единице, так что для частицы, движущейся с определенной энергией, вероятность обнаружить ее где бы то ни было - одна и та же повсюду и со временем не меняется. (Важно отметить, что амплитуда это комплексная волна. Если бы мы пользовались вещественной синусоидой, то ее квадрат от точки к точке менялся бы, что было бы неверно.)

Конечно, мы знаем, что бывают случаи, когда частицы движутся от одного места к другому, так что вероятность зависит от положения и изменяется со временем. Как же нужно описывать такие случаи? Это можно сделать, рассматривая амплитуды, являющиеся суперпозицией двух или большего числа амплитуд для состояний с определенной энергией. Такое положение мы уже обсуждали в гл. 48 (вып. 4), причем именно для амплитуд вероятности! Мы нашли тогда, что сумма двух амплитуд с разными волновыми числами k (т. е. импульсами) и частотами w (т. е. энергиями) приводит к интерференционным буграм, или биениям, так что квадрат амплитуды меняется и в пространстве, и во времени. Мы нашли также, что эти биения движутся с так называемой «групповой скоростью», определяемой формулой

где Dk и Dw — разности волновых чисел и частот двух волн. В более сложных волнах, составленных из суммы многих амплитуд с близкими частотами, групповая скорость равна

Так как w=Ер/h, a k = p/h, то

Но из (5.6) следует, что

а так как Ep=Mc^2, то

а это как раз классическая скорость частицы. Даже применяя нерелятивистские выражения, мы будем иметь

и

т. е. опять классическую скорость.

Результат наш, следовательно, состоит в том, что если имеется несколько амплитуд для чистых энергетических состоянии с почти одинаковой энергией, то их интерференция приводит к «всплескам» вероятности, которые движутся сквозь пространство со скоростью, равной скорости классической частицы с такой же энергией. Но нужно, однако, заметить, что, когда мы говорим, что можем складывать две амплитуды с разными волновыми числами, чтобы получать пакеты, отвечающие движущейся частице, мы при этом вносим нечто новое — нечто, не выводимое из теории относительности. Мы сказали, как меняется амплитуда у неподвижной частицы, и затем вывели из этого, как она должна была бы меняться, если бы частица двигалась. Но из этих рассуждений мы не в состоянии вывести, что случилось бы, если бы были две волны, движущиеся с разными скоростями. Если мы остановим одну из них, мы не сможем остановить другую. Так что мы втихомолку добавили еще одну гипотезу: кроме того, что (5.9) есть возможное решение, мы. допускаем, что у той же системы могут быть еще решения со всевозможными p и что различные члены будут интерферировать.

§ 3. Пoтeнциальная энергия; сохранение энергии

А теперь мы хотели бы выяснить вопрос о том, что бывает; когда энергия частицы может меняться. Начнем с размышления о частице, которая движется в поле сил, описываемом потенциалом. Рассмотрим сперва влияние постоянного потенциала. Пусть у нас имеется большой металлический ящик, который мы зарядили до некоторого электростатического потенциала j (фиг. 5.2).

|Фиг. 5.2. Частица с массой M и импульсом р в области постоянного потенциала.

Если внутри ящика есть заряженные объекты, то их потенциальная энергия будет равна qj; мы обозначим это число буквой V. Оно по условию совершенно не зависит от положения самого объекта. От наложения потенциала никаких физических изменений внутри ящика не произойдет, ведь постоянный потенциал ничего не меняет в том, что происходит внутри ящика. Значит, закон, по которому теперь будет меняться амплитуда, вывести никак нельзя. Можно только догадаться. Вот он, правильный ответ — он выглядит примерно так, как и следовало ожидать: вместо энергии нужно поставить сумму потенциальной энергии V и энергии Ер, которая сама есть сумма внутренней и кинетической энергий. Амплитуда тогда будет пропорциональна

Общий принцип состоит в том, что коэффициент при t, который можно было бы назвать со, всегда дается полной энергией системы: внутренней энергией («энергией массы») плюс кинетическая энергия плюс потенциальная энергия:

Или в нерелятивистском случае

Ну, а что можно сказать о физических явлениях внутри ящика? Если физическое состояние не одно, а несколько, то что мы получим? В амплитуду каждого состояния войдет один и тот же добавочный множитель

e-(i/h)Vt

сверх того, что было при V=0. Это ничем не отличается от сдвига нуля нашей энергетической шкалы. Получится одинаковый сдвиг всех фаз всех амплитуд, а это, как мы раньше убедились, не меняет никаких вероятностей. Все физические явления остаются теми же. (Мы предположили, что речь идет о разных состояниях одного и того же заряженного объекта, так что qj у них у всех одинаково. Если бы объект мог менять свой заряд, переходя от одного состояния к другому, то мы пришли бы к совершенно другому результату, но сохранение заряда предохраняет нас от этого.)

До сих пор наше допущение согласовывалось с тем, чего следовало ожидать от простого изменения уровня отсчета энергии. Но если оно на самом деле справедливо, то обязано выполняться и для потенциальной энергии, которая не является просто постоянной. В общем случае V может меняться произвольным образом и во времени, и в пространстве, и окончательный результат для амплитуды должен выражаться на языке дифференциальных уравнений. Но мы не хотим сразу приступать к общему случаю, а ограничимся некоторым представлением о том, что происходит. Так что пока мы рассмотрим только потенциал, который постоянен во времени и медленно меняется в пространстве. Тогда мы сможем сравнить между собой классические и квантовые представления.

Предположим, что мы размышляем о случае, изображенном на фиг. 5.3, где два ящика поддерживаются при постоянных потенциалах j_1 и j_2, а в области между ними потенциал плавно меняется от j_1 к j_2.

Фиг. 5.3. Амплитуда для частицы, переходящей от одного потенциала к другому.

Вообразим, что у некоторой частицы есть амплитуда оказаться в одной из этих областей. Допустим также, что импульс достаточно велик, так что в любой малой области, в которой помещается много длин волн, потенциал почти постоянен. Тогда мы вправе считать, что в любой части пространства амплитуда обязана выглядеть так, как (5.18), только V в каждой части пространства будет свое.

Рассмотрим частный случай, когда j_1=0, так что потенциальная энергия в первом ящике равна нулю, во втором же пусть qj_2 будет отрицательно, так что классически частица в нем будет обладать большей кинетической энергией. В классическом смысле она во втором ящике будет двигаться быстрее, у нее будет, стало быть, и больший импульс. Посмотрим, как это может получиться из квантовой механики.

При наших предположениях амплитуда в первом ящике Должна была быть пропорциональна

а во втором

(Будем считать, что внутренняя энергия не изменяется, а остается в обеих областях одной и той же.) Вопрос заключается в следующем: как эти две амплитуды сопрягаются друг с другом в области между ящиками?

Мы будем считать, что все потенциалы во времени постоянны, так что в условиях ничего не меняется. Затем мы предположим, что изменения амплитуды (т. е. ее фазы) всюду обладают одной и той же частотой, потому что в «среде» между ящиками нет, так сказать, ничего, что бы зависело от времени. Если в пространстве ничего не меняется, то можно считать, что волна в одной области «генерирует» во всем пространстве вспомогательные волны, которые все колеблются с одинаковой частотой и, подобно световым волнам, проходящим через покоящееся вещество, не меняют своей частоты. Если частоты в (5.21) и (5.22) одинаковы, то должно выполняться равенство

Здесь по обе стороны стоят просто классические полные энергии, так что (5.23) есть утверждение о сохранении энергии. Иными словами, классическое утверждение о сохранении энергии вполне равноценно квантовомеханическому утверждению о том, что частоты у частицы всюду одинаковы, если условия во времени не меняются. Все это согласуется с представлением о том, что hw=E.

В том частном случае, когда V_1=0, a V_2 отрицательно (5.23) означает, что p_2 больше р_1,т. е. в области 2 волны короче. Поверхности равной фазы показаны на фиг. 5.3 пунктиром. Там еще вычерчен график вещественной части амплитуды, из которого тоже видно, как уменьшается длин волны при переходе от области 1 в область 2. Групповая скорость волн, равная р/М, тоже возрастает так, как и следовало ожидать из классического сохранения энергии, потому что оно просто совпадает с (5.23).

Существует интересный частный случай, когда V_2 становится столь большим, что V_2- V_1 уже превышает p^2_1/2M. Тогда p^2_2, даваемое формулой

становится отрицательным. А это значит, что р_2— мнимо число, скажем ip'. Классически мы бы сказали, что частица никогда не попадет в область 2, ей не хватит энергии, чтобы взобраться на потенциальный холм. Однако в квантовой механике амплитуда по-прежнему представляется уравнением (5.22); ее изменения в пространстве по-прежнему следуют закону

Но раз p_2— мнимое число, то пространственная зависимость превращается в вещественную экспоненту. Если, скажем, частица сперва двигалась в направлении +х, то амплитуда начнет меняться, как

С ростом х она быстро падает.

Вообразим, что обе области с разными потенциалами расположены очень тесно друг к другу, так что потенциальная анергия внезапно изменяется от V_1 к V_2(фиг. 5.4, а).

Фиг. 5.4. Амплитуда для частицы, приближающейся к сильно отталкивающему потенциалу.

Начертив график вещественной части амплитуды вероятности, Мы получим зависимость, показанную на фиг. 5.4, б. Волна в области 1 отвечает частице, пытающейся попасть в область 2, но там амплитуда быстро спадает. Имеется какой-то шанс, что ее заметят в области 2, где классически она ни за что бы Не оказалась, но амплитуда этого очень мала (кроме места близ самой границы). Положение вещей очень похоже на то, Что мы обнаружили для полного внутреннего отражения света. Обычно свет не выходит, но его можно все же заметить, если поставить что-нибудь на расстоянии в одну-две длины волны от поверхности.

Вспомните, что если поместить вторую поверхность вплотную к границе, где свет полностью отражался, то можно добиться того, чтобы во втором куске вещества все же распространялся какой-то свет. То же самое происходит и с частицами в квантовой механике. Если имеется узкая область с таким высоким потенциалом V, что классическая кинетическая энергия там отрицательна, то частица никогда не пройдет сквозь нее. Но в квантовой механике экспоненциально убывающая амплитуда может пробиться сквозь эту область и дать слабую вероятность того, что частицу обнаружат по другую сторону — там, где кинетическая энергия опять положительна. Все это изображено на фиг. 5.5.

Фиг. 5.5. Проникновение амплитуды сквозь потенциальный барьер.

Эффект называется квантовомеханическим «проникновением сквозь барьер».

Проникновение квантовомеханической амплитуды сквозь барьер дает объяснение (или описание) a-распада ядра урана. Кривая зависимости потенциальной энергии a-частицы от расстояния от центра показана на фиг. 5.6, а.

Фиг. 5.6. Потенциал a-частицы в ядре урана (а) и качественный вид амплитуды вероятности (б).

Если бы попытаться выстрелить a-частицей с энергией Е в ядро, то она почувствовала бы электростатическое отталкивание от ядерного заряда z и по классическим канонам не подошла бы к ядру ближе, чем на такое расстояние r_1при котором ее полная энергия сравняется с потенциальной V. Но где-то внутри ядра потенциальная энергия окажется намного ниже из-за сильного притяжения короткодействующих ядерных сил. Как же тогда объяснить, отчего при радиоактивном распаде мы обнаруживаем a-частицы, которые, первоначально находясь внутри ядра, оказываются затем снаружи него с энергией Е?Потому что они. с самого начала обладая энергией E, «просочились» сквозь потенциальный барьер. Схематичный набросок амплитуды вероятности дан на фиг. 5.6, б, хотя на самом деле экспоненциальный спад много сильнее, чем показано. Весьма примечательно, что среднее время жизни a-частицы в ядре урана достигает 4^1/2 миллиарда лет, тогда как естественные колебания внутри ядра чрезвычайно быстры, их в секунду бывает 10^22! Как же можно из 10-2^2 сек получить число порядка 10^9 лет? Ответ состоит в том, что экспонента дает неслыханно малый множитель порядка 10-4^5, что и приводит к очень малой, хоть и вполне определенной, вероятности просачивания. Если уж a-частица попала в ядро, то почти нет никакой амплитуды обнаружить ее не в ядре; если, однако, взять таких ядер побольше и подождать подольше, то вам, может быть, повезет и вы увидите, как частица выскочит наружу.

§ 4. Силы; классический предел

Предположим, что частица движется сквозь область, где есть потенциал, меняющийся поперек движения. Классически мы бы описали этот случай так, как показано на фиг. 5.7.

Фиг. 5.7. Отклонение частицы поперечным градиентом потенциала.

Если частица движется в направлении х и вступает в область, где имеется потенциал, изменяющийся вдоль y, то частица получит поперечное ускорение от силы F=-дV/дy. Если сила присутствует только в ограниченной области шириной w, то она будет действовать только в течение времени w/v. Частица получит поперечный импульс

py= Fw/v

Тогда угол отклонения dq будет равен

где р — начальный импульс. Подставляя вместо F число -дV/дy, получаем

Теперь нам предстоит выяснить, удастся ли получить этот результат с помощью представления о том, что волны подчиняются уравнению (5.20). Мы рассмотрим то же самое явление квантовомеханически, предполагая, что все масштабы в нем намного превосходят длины волн наших амплитуд вероятности. В любой маленькой области можно считать, что амплитуда меняется как

В состоянии ли мы увидеть, как отсюда получится отклонение частиц, когда у V будет поперечный градиент? На фиг. 5.8 мы прикинули, как будут выглядеть волны амплитуды вероятности.

Фиг. 5.8. Амплитуда вероятности в области с поперечным градиентом потенциала.

Мы начертили ряд «узлов волн», которые вы можете считать, скажем, поверхностями, где фаза амплитуды равна нулю. В любой небольшой области длина волны (расстояние между соседними узлами) равна

где р связано с V формулой

В области, где V больше, там р меньше, а волны длиннее. Поэтому направление линий узлов волн постепенно меняется, как показано на рисунке.

Чтобы найти изменение наклона линий узлов волн, заметим, что на двух путях а и b имеется разность потенциалов DV=(дV/дy)D, а значит, и разница Dр между импульсами. Эту разность можно получить из (5.28):

Волновое число p/h поэтому тоже на разных путях различно, что означает, что фазы растут вдоль них с разной скоростью. Разница в скорости роста фазы есть Dk=Dр/h, и накопленная на всем пути w разность фаз будет равна

Это число показывает, на сколько к моменту выхода из полосы фаза вдоль пути b «опережает» фазу вдоль пути а. Но на выходе из полосы такое опережение фаз отвечает опережению узла волны на величину

или

Обращаясь к фиг. 5.8, мы видим, что новый фронт волны повернется на угол dq, даваемый формулой

так что мы имеем

А это совпадает с (5.26), если заменить р/М на v, а DV/D на дV/дy.

Результат, который мы только что получили, верен лишь, когда потенциал меняется медленно и плавно — в так называемом классическом пределе. Мы показали, что при этих условиях получим те же движения частиц, что получились бы и из F=ma, если предположить, что потенциал дает вклад в фазу амплитуды вероятности, равный Vt/h. В классическом пределе квантовал механика оказывается, в согласии с ньютоновской механикой.

§ 5. «Прецессия» частицы со спином 1/2

Заметьте, что мы не предполагали, что потенциальная энергия у нас какая-то особая, это просто энергия, производная от которой дает силу. Например, в опыте Штерна — Герлаха энергия имела вид U=-m·B; отсюда при наличии у В пространственной вариации и получалась сила. Если бы нам нужно было квантовомеханическое описание опыта, мы должны были бы сказать, что у частиц в одном пучке энергия меняется в одну сторону, а в другом пучке — в обратную сторону, (Магнитную энергию U можно было бы вставить либо в потенциальную энергию V, либо во «внутреннюю» энергию W;куда именно, совершенно неважно.) Из-за вариаций энергии волны преломляются, пучки искривляются вверх или вниз. (Мы теперь знаем, что квантовая механика предсказывает то же самое искривление, которое следует и из расчета по классической механике.)

Из зависимости амплитуды от потенциальной энергии также следует, что у частицы, сидящей в однородном магнитном поле, направленном по оси z, амплитуда вероятности обязана меняться во времени по закону

(Можно считать это просто определением mz.) Иначе говоря, если поместить частицу в однородное поле В на время t, то ее амплитуда вероятности умножится на

сверх того, что было бы без поля. Поскольку у частицы со спином 1/2 величина mz может быть равна плюс или минус какому-то числу, скажем m, то у двух мыслимых состояний в однородном поле фазы будут меняться с одинаковой скоростью в противоположные стороны. Амплитуды помножатся на

Этот результат приводит к интересным следствиям. Пусть частица со спином 1/2 находится в каком-то состоянии, которое не есть ни чистое состояние со спином вверх, ни чистое состояние со спином вниз. Его можно описать через амплитуды пребывания в этих двух состояниях. Но в магнитном поле у этих двух состояний фазы начнут меняться с разной скоростью. И если мы поставим какой-нибудь вопрос насчет амплитуд, то ответ будет зависеть от того, сколько времени частица провела в этом поле.

В виде примера рассмотрим распад мюона в магнитном поле. Когда мюоны возникают в результате распада p-мезонов, они оказываются поляризованными (иными словами, у них есть предпочтительное направление спина). Мюоны в свою очередь распадаются (в среднем через 2,2 мксек), испуская электрон и пару нейтрино:

При этом распаде оказывается, что (по крайней мере при высоких энергиях) электроны испускаются преимущественно в направлении, противоположном направлению спина мюона.

Допустим затем, что имеется экспериментальное устройство (фиг. 5.9): поляризованные мюоны входят слева и в блоке вещества А останавливаются, а чуть позже распадаются.

Фиг.. 5.9. Опыт с распадом мюона.

Испускаемые электроны выходят, вообще говоря, во всех мыслимых направлениях. Представим, однако, что все мюоны будут входить в тормозящий блок А так, что их спины будут повернуты в направлении х. Без магнитного поля там наблюдалось бы какое-то угловое распределение направлений распада; мы же хотим знать, как изменилось бы это распределение при наличии магнитного поля. Можно ожидать, что оно как-то будет меняться со временем. То, что получится, можно узнать, спросив, какой будет в каждый момент амплитуда того, что мюон обнаружится в состоянии (+x).

Эту задачу можно сформулировать следующим образом: пусть известно, что в момент t=0 спин мюона направлен по +х; какова амплитуда того, что в момент т он окажется в том же состоянии? И хотя мы не знаем правил поведения частицы со спином 1/2 в магнитном поле, перпендикулярном к спину, но зато мы знаем, что бывает с состояниями, когда спины направлены вверх или вниз по полю,— тогда их амплитуды умножаются на выражение (5.34). Наша процедура тогда будет состоять в том, чтобы выбрать представление, в котором базисные состояния — это направления спином вверх или спином вниз относительно z (относительно направления поля). И любой вопрос тогда сможет быть выражен через амплитуды этих состояний.

Пусть |y(t)> представляет состояние мюона. Когда он входит в блок А, его состояние есть |y (0)>, а мы. хотим знать |y (t)> в более позднее время t. Если два базисных состояния обозначить (+z) и (-z), то нам известны амплитуды <+z|y (0)> и <-z|y (0)> — они известны потому, что мы знаем, что |y (0)> представляет собой состояние со спином в направлении (+x). Из предыдущей главы следует, что эти амплитуды равны

Они оказываются одинаковыми. Раз они относятся к положению при t=0, обозначим их С+(0) и С-(0).

Далее, мы знаем, что из этих двух амплитуд получится со временем. Из (5.34) следует

Но если нам известны C+(t) и C-(t), то у нас есть все, чтобы знать условия в момент t. Надо преодолеть только еще одно затруднение: нужна-то нам вероятность того, что спин (в момент t)окажется направленным по +х. Но наши общие правила учитывают и эту задачу. Мы пишем, что амплитуда пребывания в состоянии (+x) в момент t [обозначим ее A+(t)]есть

или

Опять пользуясь результатом последней главы (или лучше равенством

* из гл. 3), мы пишем

Итак, в (5.37) все известно. Мы получаем

или

Поразительно простой результат! Заметьте: ответ согласуется с тем, что ожидалось при t=0. Мы получаем А+(0)=1, и это вполне правильно, потому что сперва и было предположено, что при t=0 мюон был в состоянии (+x).

Вероятность Р+того, что мюон окажется в состоянии (+х) в момент t, есть (А+)2, т. е.

Вероятность колеблется от нуля до единицы, как показано на фиг. 5.10.

Фиг. 5.10. Временная зависимость вepoятности того. что частица со спином 1/2 окажется в состоянии (+) по отношению оси х.

Заметьте, что вероятность возвращается к единице при mBt/h=p (а не при 2p). Из-за того что косинус возведен в квадрат, вероятность повторяется с частотой 2mВ/h.

Итак, мы обнаружили, что шанс поймать в электронном счетчике, показанном на фиг. 5.9, распадный электрон периодически меняется с величиной интервала времени, в течение которого мюон сидел в магнитном поле. Частота зависит от магнитного момента (Л. Именно таким образом и был на самом деле измерен магнитный момент мюона.

Тем же методом, конечно, можно воспользоваться, чтобы ответить на другие вопросы, касающиеся распада мюона. Например, как зависит от времени t шанс заметить распадный электрон в направлении у, под 90° к направлению х, но по-прежнему под прямым углом к полю? Если вы решите эту задачу, то увидите, что вероятность оказаться в состоянии (+у) меняется как cos^2{(mBt/h)-(p/4)}; она колеблется с тем же периодом, но достигает максимума на четверть цикла позже, когда mВt/h=p/4. На самом-то деле происходит вот что: с течением времени мюон проходит через последовательность состояний, отвечающих полной поляризации в направлении, которое непрерывно вращается вокруг оси z. Это можно описать, говоря, что спин прецессирует с частотой

Вам должно становиться понятно, в какую форму выливается квантовомеханическое описание, когда мы описываем поведение чего-либо во времени.

* Если вы пропустили гл. 4, то можете пока просто считать (5.35) невыведенным правилом. Позже, в гл. 8, мы разберем прецессию спина подробнее, будут получены и эти амплитуды.

* Мы предполагаем, что фазы обязаны иметь одно и то же значение в соответствующих точках в двух системах координат. Впрочем, это весьма тонкое место, поскольку в квантовой механике фаза в значительной степени произвольна. Чтобы до конца оправдать это предположение, нужны более детальные рассуждения, учитывающие интерференцию двух или нескольких амплитуд.

Глава 6

ГАМИЛЬТОНОВА МАТРИЦА

§ 1. Амплитуды и векторы

§ 2. Разложение векторов состояний

§ 3. Каковы базисные состояния мира?

§ 4. Как состояния меняются во времени

§ 5. Гамильтонова матрица

§ б. Молекула аммиака

Повторить: гл. 49) (вып. 4) «Собственные колебания»

§ 1. Амплитуды и векторы

Прежде чем приступить к основной теме этой главы, мы хотели бы изложить несколько математических идей, которые часто встречаются в книгах по квантовой механике. Знание их облегчит вам чтение других книг или статей по этому предмету. Первая идея — это тесное математическое подобие между уравнениями квантовой механики и формулами для скалярного произведения двух векторов. Вы помните, что если cи j — два состояния, то амплитуда начать в j и кончить в c может быть записана в виде суммы (по полной совокупности базисных состояний) амплитуд перехода из j в одно из базисных состояний и затем из этого базисного состояния уже в c:

Мы объясняли это при помощи прибора Штерна — Герлаха, но сейчас напоминаем вам, что в этих приборах нет нужды. Уравнение (6.1) — это математический закон, который верен всегда, все равно, есть ли у нас фильтровальное оборудование или нет; вообще совсем не обязательно воображать наличие какого-то прибора. Можно рассматривать это просто как формулу для амплитуды <c|j>.

Сопоставим (6.1) с формулой для скалярного произведения двух векторов В и А. Если В и А — обычные трехмерные векторы, то скалярное произведение можно написать так:

считая, что символ еi обозначает любой из трех единичных векторов в направлениях х.у и z. Тогда B·e_1— это то, что обычно называют Вх, а В·е_2— то, что обычно называют By, и т,д. Значит, (6.2) эквивалентно

ВхАх+ВуАу+ВгАг,

а это и есть скалярное произведение В·А.

Сравнение (6.1) с (6.2) обнаруживает следующую аналогию. Состояния c и j соответствуют двум векторам А и В. Базисные состояния i отвечают специальным векторам еi, к которым мы относим все прочие векторы. Любой вектор может быть представлен как линейная комбинация трех «базисных векторов» еi. Далее, если вам известны коэффициенты при каждом «базисном векторе» в этой комбинации, т. е. три его компоненты, то вы знаете о векторе все. Точно так же любое квантовомеханическое состояние может быть полностью описано амплитудами <i|j> перехода в базисные состояния, и если эти коэффициенты вам известны, то вы знаете все, что можно знать о состоянии. Из-за этой тесной аналогии то, что мы назвали «состоянием», часто именуют «вектором состояния».

Раз базисные векторы еi перпендикулярны друг другу, то существует соотношение

Это соответствует соотношению (3.25) между базисными состояниями i

Теперь вы понимаете, почему говорят, что базисные состояния i все «ортогональны друг другу».

Между (6.1) и скалярным произведением есть одно минимальное различие. У нас

а в векторной алгебре

А·В = В·А.

В квантовой механике с ее комплексными числами мы обязаны выдерживать порядок множителей, а в скалярном произведении порядок неважен.

Теперь рассмотрим такое векторное уравнение:

оно немножко необычно, но тем не менее верно. И означает оно то же самое, что и

Заметьте, однако, что в (6.6) входит величина, отличная от скалярного произведения. Скалярное произведение — это просто число, а (6.6) — векторное уравнение. Одним из великих приемов векторного анализа было абстрагировать от уравнений идею самого вектора. Равным образом можно попытаться абстрагировать от уравнения (6.1) то, что в квантовой механике является аналогом «вектора». И это действительно можно сделать. Уберем <c| по обе стороны (6.1) и напишем такое уравнение (не пугайтесь — это просто обозначение, и через пару минут вы узнаете, что означают эти символы):

Скобку <c|j> представляют себе состоящей из двух половинок. Вторую половинку |j> называют кет, а первую <c| называют брэ (поставленные рядом они образуют брэ-кетєbгаcket, скоб-каєскобка — обозначение, предложенное Дираком); полусимволы <c| и |j> также называют векторами состояний. Это не числа отнюдь, а нам вообще-то нужно, чтобы результаты наших расчетов выражались числами; стало быть, такие «незаконченные» величины представляют собой промежуточные шаги в расчетах.

До сих пор мы все свои результаты выражали с помощью чисел. Как же мы умудрялись избегать векторов? Забавно, что даже в обычной векторной алгебре можно сделать так, чтобы во все уравнения входили только числа. Например, вместо векторного уравнения типа

F=та всегда можно написать

C·F=C·(ma).

Получается уравнение, связывающее скалярные произведения и справедливое для любого вектора С. Но если оно верно для любого С, то едва ли имеет смысл вообще писать это С!

Теперь вернемся к (6.1). Это уравнение справедливо при любых c. Значит, для сокращения письма мы должны просто убрать c и написать вместо (6.1) уравнение (6.8). Это уравнение снабдит нас той же самой информацией, лишь бы мы понимали, что его всегда надлежит «завершить», «умножив слева на...», т. е. просто дописав некоторое <c| по обе стороны знака равенства. Следовательно, (6.8) означает в точности то же, что и (6.1),— ни более ни менее. Если вы предпочитаете числа, вы подставляете то <c|, которое вам нужно.

Может быть, вы в уравнении (6.8) уже нацелились и на j? Раз (6.8) справедливо при любом j, зачем же нам его держать? И действительно, Дирак предлагает абстрагироваться и от j, так что остается только

Вот он каков — великий закон квантовой механики! Этот закон утверждает, что если вы вставите любые два состояния c и j с обеих сторон, слева и справа, то опять вернетесь к (6.1). Уравнение (6.9) вообще-то не очень полезно, но зато является неплохим напоминанием о том, что уравнение выполняется для любых двух состояний.

§ 2. Разложение векторов состояний

Посмотрим на уравнение (6.8) еще раз; его можно рассматривать следующим образом. Любой вектор состояния |j> может быть представлен в виде линейной комбинации совокупности базисных «векторов» с подходящими коэффициентами, или, если угодно, в виде суперпозиции «единичных векторов» в подходящих пропорциях. Чтобы подчеркнуть, что коэффициенты <i|j> — это просто обычные (комплексные) числа, напишем

<i|j>=Сi. Тогда (6.8) совпадает с

Такое же уравнение можно написать и для всякого другого вектора состояния, скажем для |c>, но, конечно, с другими коэффициентами, скажем с Di. Тогда будем иметь

где Di — это просто амплитуды <i|c>.

Представим, что мы начали бы с того, что в (6.1) абстрагировались бы от j. Тогда мы бы имели

Вспоминая, что <c|i>=<i|c>*, можно записать это в виде

А теперь интересно вот что: чтобы обратно получить <c|j>, можно просто перемножить (6.13) и (6.10). Только, делая это, надо быть внимательным к индексам суммирования, потому что они в разных уравнениях разные. Перепишем сперва (6.13):

Это ничего не меняет. Объединяя с (6.10), получаем

Вспомните, однако, что <j|i>=dij, так что в сумме останутся только члены с j=i. Выйдет

где, как вы помните, d*i=<i|c>*=<c|i>, а Ci=<i|j>. Опять мы являемся свидетелями тесной аналогии со скалярным произведением

Единственная разница — что Diнужно комплексно сопрягать. Значит, (6.15) утверждает, что если разложить векторы состояний <c| и |j> по базисным векторам <i| или |i), то амплитуда перехода из j в c дается своего рода скалярным произведением (6.15). А это просто (6.1), записанное в других символах. Мы ходим по кругу, привыкая к новым символам.

Может быть, стоит подчеркнуть, что в то время, как пространственные трехмерные векторы выражаются через три ортогональных единичных вектора, базисные векторы |i> квантовомеханических состояний должны пробегать всю совокупность, отвечающую данной задаче. В зависимости от положения вещей в нее может входить два или три, пять или бесконечно много базисных состояний.

Мы говорили также о том, что происходит, когда частицы проходят через прибор. Если мы выпустим частицы в определенном состоянии j, затем проведем их через прибор, а после проделаем измерение, чтобы посмотреть, находятся ли они в состоянии c, то результат будет описываться амплитудой

Такой символ не имеет близкого аналога в векторной алгебре. (Он ближе к тензорной алгебре, но эта аналогия не так уж полезна.) Мы видели в гл. 3 [формула (3.32)], что (6.16) можно переписать так:

Это пример двукратного применения основного правила (6.9).

Мы обнаружили также, что если вслед за прибором А по ставить другой прибор 5, то можно написать

Это опять-таки следует прямо из предложенного Дираком метода записи уравнения (6,9). Вспомните, что между В и A всегда можно поставить черту (|), которая ведет себя совсем как множитель единица.

Кстати говоря, об уравнении (6.17) можно рассуждать и иначе. Предположим, что мы рассуждаем о частице, попадающей в прибор А в состоянии j и выходящей из него в состоянии y. Мы можем задать себе такой вопрос: можно ли найти такое состояние y, чтобы амплитуда перехода от yк c тождественно совпадала с амплитудой <c|A|j>?Ответ гласит да. Мы хотим, чтобы (6.17) заменилось уравнением

Конечно, этого можно достичь, если взять

что и определяет собой y. «Но оно не определяет собой y,— скажете вы,— оно определяет только <i|y>». Однако <i|y> все же определяет y; ведь если у вас есть все коэффициенты, связывающие y с базисными состояниями i, то y определяется однозначно. И действительно, можно поупражняться с нашими обозначениями и записать (6.20) в виде

А раз это уравнение справедливо при всех г, то можно просто писать

Теперь мы вправе сказать: «Состояние y — это то, что получается, если начать с j и пройти сквозь аппарат A».

Еще один, последний пример полезных уловок. Начинаем опять с (6.17). Раз это уравнение соблюдается при любых c и j, то их обоих можно сократить! Получаем

Что это значит? Только то, что получится, если вернуть на свои места j и c. В таком виде это уравнение «недокончено» и неполно. Если умножить его «справа» на |j>, то оно превращается в

а это снова то же уравнение (6.22). В самом деле, мы бы могли просто убрать из (6.22) все j и написать

Символ А — это не амплитуда и не вектор; это вещь особого рода, именуемая оператором. Он — нечто, что «оперирует» над состоянием, чтобы создать новое состояние; уравнение (6.25) говорит, что |y)> — это то, что получается, если А действует на |j>. Это уравнение тоже нужно считать недоконченным, открытым, пока слева оно не умножится на какое-то «брэ», скажем на <c|, и не обратится в

Оператор А, разумеется, полностью описывается тем, что за дается матрица амплитуд <i|A|j>;ее также пишут в виде Аij— через любую совокупность базисных векторов.

Все эти математические обозначения на самом деле ничего нового не вносят. Единственный резон, почему мы их ввели,— мы хотели показать, как пишутся обрывки уравнений, потому что во многих книжках вы встретите уравнения, написанные в неполном виде, и нет причин вам пугаться, увидев их. Если вы захотите, вы всегда сможете дописать те части, которых не хватает, и получить уравнение, связывающее числа. Оно будет выглядеть более привычно.

Кроме того, как вы увидите, обозначения «брэ» и «кет» очень удобны. Прежде всего мы теперь сможем указывать состояния, задавая их вектор состояния. Когда мы захотим вести речь о состоянии с определенным импульсом р, то скажем: «состояние

|р>». Или будем говорить о некотором произвольном состоянии |y>. Для единообразия мы всегда, говоря о состоянии, будем употреблять «кет» и писать |y>. (Конечно, этот выбор совершенно произволен; в равной мере мы могли бы остановиться и на «брэ» <y|.)

§ 3. Каковы базисные состояния мира?

Мы обнаружили, что всякое состояние в мире может быть представлено в виде суперпозиции (линейной комбинации с подходящими коэффициентами) базисных состояний. Вы вправе спросить, во-первых: каких именно базисных состояний? Что ж, возможностей здесь немало. Можно, например, взять проекцию спина на направление z или на некоторое другое направление. Имеется очень-очень много различных представлений— аналогов различных систем координат, которые можно применять для представления обычных векторов. Затем можно спросить: с какими коэффициентами их брать? А это уж зависит от физических обстоятельств. Различные совокупности коэффициентов отвечают разным физическим условиям. Здесь важно знать одну вещь — «пространство», в котором вы работаете, иными словами, знать, что эти базисные состояния означают физически. Так что первое, что вы, вообще говоря, должны знать,— это на что похожи базисные состояния. Тогда вам станет понятно, как описывать положение вещей на языке этих базисных состояний.

Мы хотели бы чуть-чуть заглянуть вперед и немножко поговорить о том, каким скорей всего окажется общее квантовомеханическое описание природы — во всяком случае, каким оно будет, судя по нынешним физическим представлениям. Первым делом надо решиться на тот или другой выбор представления базисных состояний (всегда ведь возможны различные представления). Например, для частицы со спином 1/2 можно использовать плюс- и минус-состояния относительно оси z. В оси z нет ничего особенного — можете выбрать любую ось, какую вам захочется. Но для единообразия мы всегда будем брать ось z. Начнем со случая одного электрона. Наряду с двумя возможностями для спина (вверх и вниз по оси z) электрон имеет еще импульс. Мы выбираем совокупность базисных состояний, по одному на каждое значение импульса. А что если у электрона нет определенного импульса? Ничего страшного: мы ведь говорим только, каковы базисные состояния. Если у электрона не будет определенного импульса, то у него какая-то амплитуда будет иметь один импульс, а какая-то — другой и т. д. А если он вертится не обязательно вверх спином, то у него есть какая-то амплитуда вертеться при этом импульсе спином вверх, а какая-то — вниз и т. д. Для полного описания электрона, насколько нам сейчас известно, требуется только, чтобы базисные состояния описывались импульсом и спином. Значит, одна из приемлемых совокупностей базисных состояний |i> для отдельного электрона указывает различные значения импульса и еще направление, куда смотрит спин,— вверх или вниз. Различные смеси амплитуд, т. е. различные сочетания чисел С, описывают различные обстоятельства. Что делает тот или иной электрон, описывается тем, что сообщается, с какой амплитудой у него спин может быть вверх, а с какой — вниз, и при этом импульс будет равен тому или иному числу, и так для всех мыслимых импульсов. Вы теперь видите, что требуется для полного квантовомеханического описания отдельного электрона.

А как обстоит дело с системами нескольких электронов? В этих случаях базисные состояния становятся сложнее. Пусть электронов пара. Во-первых, имеются четыре мыслимых состояния по отношению к спину: у обоих электронов спины вверх, или у первого вверх, а у второго вниз, или у первого вниз, а у второго вверх, или у обоих вниз. Кроме того, нужно указать, что у первого электрона импульс p_1 а у второго импульс р_2. Базисные состояния для двух электронов требуют указания двух импульсов и двух значков для спина. Для семерки электронов нужно указать семь пар таких чисел.

Если же имеются протон и электрон, то нужно указать направление спина протона и его импульс и направление спина электрона и его импульс. По крайней мере, в каком-то приближении это так. Мы на самом деле не знаем, каким является правильное представление для нашего мира. Мы начинаем с предположения, что если указать спин и импульс электрона и то же самое для протона, то получатся базисные состояния; все это очень хорошо, но как быть с «протоньими внутренностями»? В самом деле, рассудим следующим образом. В атоме водорода, в котором имеются один протон и один электрон, приходится описывать множество различных базисных состояний, отмечать направления вверх и вниз у спинов протона и электрона и всевозможные импульсы протона и электрона. Затем имеются различные комбинации амплитуд Сi;все вместе они описывают характер атома водорода в тех или иных состояниях. Но представьте, что мы смотрим на целый атом водорода, как на «частицу». Если бы мы не знали, что он состоит из протона и электрона, то могли бы сказать: «О, я знаю, какие у него базисные состояния — они соответствуют разным импульсам атома водорода». Но это на самом деле не так, ведь у атома водорода есть какие-то внутренние части. Значит, у него могут быть различные состояния с разной внутренней энергией, и описание реальной природы потребовало бы дальнейших подробностей.

То же и с протоном. Вопрос стоит так: есть ли у протона внутренние части? Должны ли мы описывать протон, задавая все мыслимые состояния протонов, мезонов или странных частиц? Мы этого не знаем. И даже хотя мы допускаем, что электрон прост и все, что можно о нем сказать,— это задать его импульс и спин, но ведь не исключена возможность завтра открыть наличие внутри электрона каких-то колесиков и шестеренок. А это будет означать, что наше представление неполно, или неверно, или неточно, так же как и представление атома водорода, описывающее только его импульс, было бы неполным, потому что оно пренебрегало бы тем фактом, что атом водорода может оказаться возбужденным изнутри. Если электрон тоже может оказаться возбужденным изнутри и превратиться еще во что-то, например в мюон, то его следовало бы описывать не простым заданием состояний новой частицы, а, вероятно, в терминах более сложных внутренних колесиков. Главная сегодняшняя проблема в изучении фундаментальных частиц и состоит в том, чтобы открыть, каковы правильные представления для описания природы. В настоящее время мы полагаем, что для электрона достаточно указывать его импульс и спин. Но мы полагаем также, что существует идеализированный протон, имеющий при себе свои p-мезоны, свои K-мезоны и т. д., и все они должны быть отмечены. Но ведь отмечать несколько десятков частиц смысла мало! Вопрос о том, что есть фундаментальная частица, а что — не фундаментальная,— вопрос, о котором столько сейчас говорится,— это вопрос о том, на что будет похоже окончательное представление в окончательном квантовомеханическом описании мира. Будет ли такая вещь, как импульс электрона, все еще способна описывать природу? И вообще нужно ли весь вопрос ставить именно таким образом! Такие мысли беспрерывно возникают в любом научном исследовании. Во всяком случае, проблема нам понятна — как найти представление? Но ответа мы не знаем. Мы даже не знаем, «в этом ли состоит» проблема или нет; но если проблема в этом, то сперва нужно попытаться узнать, «фундаментальна» или нет каждая отдельная частица.

В нерелятивистской квантовой механике, где энергии не очень высоки и где вы не затрагиваете внутреннего устройства странных частиц и т. п., вы можете делать весьма сложные расчеты, не заботясь об этих деталях. Вы можете просто остановиться на импульсах и спинах электронов и ядер и все будет в порядке. В большинстве химических реакций и других низкоэнергетических событий в ядрах ничего не происходит; они не возбуждаются. Дальше, если атом водорода движется медленно и если он спокойно стукается о другие атомы водорода и ничего внутри него не возбуждается, не излучается, никаких сложностей не происходит, а все остается в основном состоянии энергии внутреннего движения, — в этом случае вы можете пользоваться приближением, при котором об атоме водорода говорят как об отдельном предмете, или частице, не заботясь о том, что он может что-то внутри себя с собой сделать. Это будет хорошим приближением до тех пор, пока кинетическая энергия в любом столкновении будет заметно меньше 10 эв, т. е. энергии, требуемой для того, чтобы возбудить атом водорода до следующего внутреннего состояния. Мы часто будем прибегать к приближению, при котором исключается возможность внутреннего движения, тем самым уменьшая число деталей, которые должны быть учтены в наших базисных состояниях. Конечно, при этом мы опускаем кое-какие явления, которые проявляются (как правило) при каких-то высших энергиях, но такое приближение сильно упрощает анализ физических задач. Например, можно рассуждать о столкновении двух атомов водорода при низкой энергии (или о любом химическом процессе), не заботясь о том, что атомные ядра могут возбуждаться. Итак, подведем итог. Когда мы вправе пренебречь влиянием любых внутренних возбужденных состояний частицы, мы вправе выбрать базисную совокупность из состояний с определенным импульсом и z-компонентой момента количества движения.

Первой проблемой при описании природы является отыскание подходящего представления для базисных состояний. Но это только начало. Надо еще уметь сказать, что «случится». Если известны «условия» в мире в один момент, то мы хотим знать условия в более поздний момент. Значит, надо также найти законы, определяющие, как все меняется со временем. Мы теперь обращаемся ко второй части основ квантовой механики — к тому, как состояния меняются во времени.

§ 4. Как состояния меняются во времени

Мы уже говорили о том, как отображать ход событий, где мы что-то пропускаем через прибор. Но самый привлекательный, самый удобный для рассмотрения «опыт» состоит в том, что вы останавливаетесь и ждете несколько минут, т. е. вы приготовляете состояние j и, прежде чем проанализировать его, оставляете его в покое. Быть может, вы оставите его в покое в каком-то электрическом или магнитном поле — все зависит от физических обстоятельств. Во всяком случае, какими бы ни были условия, вы от момента t_1до момента t_2 оставляете объект на свободе. Допустим, что он выпущен из нашего первого прибора в состоянии j в момент t_1. А затем он проходит через «прибор», в котором он находится до момента t_2. Во время такой «задержки» могут продолжаться различные события, прилагаться внешние силы,— словом, что-то в это время случается. После такой задержки амплитуда того, что этот объект обнаружится в состоянии c, уже не та же самая, какой она была бы, если бы задержки не было. Так как «ожидание» — это просто частный случай «прибора», то можно описать то, что происходит, задав амплитуду в том же виде, как в уравнении (6.17). Поскольку операция «ожидания» представляет особую важность, мы вместо А обозначим ее U, а чтобы отмечать начальный и конечный моменты t_1 и t_2, будем писать U (t_2, t_1). Интересующая нас амплитуда — это

Как и всякая подобная амплитуда, она может быть представлена в той или иной базисной системе в виде

Тогда U описывается заданием полной совокупности амплитуд — матрицы

Кстати, следует отметить, что матрица <i|U(t_2, t_1|j> могла бы дать гораздо больше всяких деталей, чем нам обычно нужно. Теоретик высокого класса, работающий в физике высоких энергий, рассматривает примерно такие проблемы (потому что именно так обычно ставятся эксперименты): он начинает с двух частиц, скажем с протона и протона, налетающих друг на друга из бесконечности. (В лаборатории обычно одна частица покоится, другая же вылетает из ускорителя, который по атомным масштабам пребывает в бесконечности.) Они сталкиваются, и в итоге появляются, скажем, два К -мезона, шесть p-мезонов и два нейтрона с определенными импульсами в определенных направлениях. Какова амплитуда того, что это случится? Математика здесь выглядит так. Состояние j отмечает спины и импульсы сближающихся частиц. а c — это сведения о том, что получается в конце. К примеру, с какой амплитудой вы получите шесть мезонов, идущих в таких-то и таких-то направлениях, а два нейтрона, вылетающих вот в этих направлениях и со спинами, торчащими так-то и так-то. Иными словами, c отмечается заданием всех импульсов, спинов и т. п. конечных продуктов. И вот работа теоретика состоит в том, чтобы подсчитать амплитуду (6.27). Однако на самом деле его интересует только частный случай, когда t_1=-Ґ, а t_2 =+Ґ. (У нас не бывает экспериментальных данных о детальном ходе процесса, известно только, что вошло и что вышло. Предельный случай U (t_2, t_1)при t_1®-Ґ и t_2®+Ґ обозначается буквой S; теоретик нуждается в величине

<c|S|j>.

Или, если пользоваться формой (6.28), ему нужно вычислить матрицу

<i|S|j>,

называемую S-матрицей. Стало быть, если вы увидите физика-теоретика, который меряет шагами комнату и говорит: «Мне нужно только вычислить S-матрицу», — то вы теперь уже будете понимать, над чем он ломает голову.

Как анализировать S-матрицу, т. е. как указать законы для нее,— вопрос интересный. В релятивистской квантовой механике при высоких энергиях это делается одним способом, в нерелятивистской же квантовой механике — другим, более удобным. (Он годится и в релятивистском случае, но перестает быть таким удобным.) Состоит он в том, чтобы вывести U-матрицу для небольших интервалов времени, т. е. для близких t_2 и t_1. Если мы сможем найти последовательность таких U для последовательных интервалов времени, то сможем проследить за тем, как все меняется в зависимости от времени. Сразу же ясно, что для теории относительности этот способ не очень хорош, потому что не так уж просто указать, как «одновременно» все всюду выглядит. Но не стоит нам думать об этом; нашей заботой будет только нерелятивистская механика.

Рассмотрим матрицу U для задержки от t_1до t_3, где t_3 больше t_2. Иными словами, возьмем три последовательных момента: t_1 меньше t_2, t_2 меньше t_3. Тогда мы утверждаем, что матрица, которая тянется от t_1до t_3, получается перемножением подряд всего того, что происходит при задержке от t_1 до t_2, и затем от t_2до t_3. Это в точности то же самое, что было с двумя последовательными приборами В и А. Тогда, следуя обозначениям, принятым в гл. 3, § 6, мы можем написать

Иначе говоря, можно проанализировать любой интервал времени, если мы умеем анализировать последовательность промежуточных коротких интервалов. Мы просто перемножаем все куски; это и есть способ нерелятивистского анализа квантовой механики.

Итак, задача состоит в том, чтобы узнать матрицу U(t_2, t_1) для бесконечно малого интервала времени — для t_2=t_1+Dt. Спросим себя: если сейчас у нас есть состояние j, то как оно будет выглядеть через бесконечно малое время Dt? Посмотрим, как это можно расписать. Обозначим состояние в момент t через |y(t)> (мы указываем зависимость y от времени, чтобы было совершенно ясно, что речь идет об условиях в момент t). Теперь зададим вопрос: каково будет положение вещей через короткое время Dt? Ответ таков:

Здесь имеется в виду то же, что и в (6.25), а именно, что амплитуда обнаружить c в момент t+Dt есть

Поскольку мы еще не очень хорошо разбираемся в этих абстрактных вещах, то давайте спроецируем наши амплитуды в определенное представление. Умножая обе части (6.31) на <i|, получаем

Можно также разложить и |y(t)> на базисные состояния и написать

Понять это можно так. Если через Ci(t)=<i|y|(t)> обозначить амплитуду пребывания в базисном состоянии i в момент t, то можно считать эту амплитуду (помните, это просто число!) меняющейся во времени. Каждое Сiстановится функцией времени t. Кроме того, у нас есть информация о том, как амплитуды Сiменяются во времени. Каждая амплитуда в момент (t+Dt) пропорциональна всем прочим амплитудам в момент t, умноженным на ряд коэффициентов. Обозначим U-матрицу через Uij, считая, что

Uij=<i|U|j>.

Тогда (6.34) можно записать так:

Вот как будет выглядеть динамика квантовой механики.

Нам пока мало известно об Uij. Мы знаем только, что при Dt, стремящемся к нулю, ничего не должно произойти, просто должно получиться начальное состояние. Значит, Uij®1 и Uij®0 при i№j. Иными словами, Uij®dij при Dt®0. Кроме того, мы вполне вправе предположить, что при малых At каждый из Uijобязан отличаться от dij на величину, пропорциональную Dt; так что можно писать

Однако обычно по историческим и по иным причинам из коэффициентов Кijвыносят множитель

(-i/h) ; предпочитают писать

Это, разумеется, то же самое, что и (6.36). Если угодно, это просто определение коэффициентов Hij(t).Члены Hij— это как раз производные по t_2от коэффициентов Uij(t_2, t_1), вычисляемые при t_2=t_1=t,

Подставляя в (6.35) этот вид U, получаем

Суммируя члены с dij, получаем просто Ci(t), что можно перенести в другую сторону уравнения. После деления на Dt мы распознаем в этом производную

или

Вы помните, что Сi(t) — это амплитуда <i|y> обнаружить состояние y в одном из базисных состояний i (в момент t). Значит, уравнение (6.39) сообщает нам, как каждый из коэффициентов <i|y> меняется со временем. Но это все равно, что сказать, что (6.39) сообщает нам, как со временем меняется состояние y, раз мы описываем y через амплитуды < i|y>. Изменение y со временем описывается через матрицу Нij, которая, конечно, должна включать все то, что мы делали с системой, чтобы вызвать ее изменения. Если мы знаем матрицу Hij, которая содержит в себе всю физику явления и может, вообще говоря, зависеть от времени, то у нас есть полное описание поведения системы во времени. Таким образом, (6.39)— это квантовомеханический закон для динамики мира.

(Нужно сказать, что мы всегда будем выбирать совокупность базисных состояний, которые фиксированы и со временем не меняются. Иногда используют такие базисные состояния, которые сами меняются. Однако это все равно, что пользоваться в механике вращающейся системой координат, а мы не хотим входить в подобные тонкости.)

§ 5. Гамилътонова матрица

Идея, стало быть, заключается в том, что для квантовомеханического описания мира нужно выбрать совокупность базисных состояний i и написать физические законы, задавая матрицу коэффициентов Нij. Тогда у нас будет все, что нужно,— мы сможем отвечать на любой вопрос о том, что случится. Нам остается выучить правила, по которым находят Н в соответствии с данной физической обстановкой: какое Н отвечает магнитному полю, какое электрическому и т. д. Это самая трудная часть дела. К примеру, для новых странных частиц мы совершенно не представляем, какие Нijупотреблять. Иными словами, никто не знает полного Hijдля всего мира. (Частично трудность заключается в том, что едва ли можно надеяться на открытие Нij, раз никому не известно, каковы базисные состояния!) Мы действительно владеем превосходными приближениями для нерелятивистских явлений и некоторых других особых случаев. В частности, мы знаем вид Нij, требуемый для движений электронов в атомах — для описания химии. Но мы не знаем полного, истинного Н для всей Вселенной.

Коэффициенты Hijназывают гамильтоновой матрицей, или, короче, просто гамильтонианом. (Как получилось, что Гамильтон, работавший в 30-х годах прошлого века, дал свое имя квантовомеханической матрице,— история длинная.) Много лучше было бы называть ее энергетической матрицей по при чинам, которые станут ясны, когда мы поработаем с ней. Итак все сошлось на гамильтониане. Как узнать гамильтониан — вот в чем вопрос!

У гамильтониана есть одно свойство, которое выводится сразу же:

Н*ij=Hji. (6.40)

Это следует из того, что полная вероятность пребывания системы хоть в каком-то состоянии не должна меняться. Если вначале у вас была частица (или любой объект, или весь мир), то с течением, времени она пропасть не может. Полная вероятность ее где-то найти равна

что не должно меняться со временем. Если это обязано выполняться для любого начального условия j, то уравнение (6.40) тоже должно соблюдаться.

В качестве первого примера возьмем случай, когда физические условия не меняются со временем; мы имеем в виду внешние физические условия, так что Н не зависит от времени никаких магнитов никто не включает и не выключает. Выберем также систему, для описания которой хватает одного базисного состояния; такое приближение годится для покоящегося атома водорода и сходных систем. Уравнение (6.39) тогда утверждает, что

Только одно уравнение — и все! Если Н_11постоянно, это дифференциальное уравнение легко решается, давая

Так зависит от времени состояние с определенной энергией Е=Н_11. Вы видите, почему Нijследовало бы называть энергетической матрицей: она обобщает понятие энергии на более сложные случаи.

Вслед за этим, чтобы еще лучше разобраться в смысле уравнений, рассмотрим систему с двумя базисными состояниями.

Тогда (6.39) читается так:

Если все Н опять не зависят от времени, то эти уравнения легко решить. Для интереса займитесь этим сами, а мы позже еще вернемся к ним. Вот вы уже и можете вести расчеты по квантовой механике, зная об Н только то, что оно не зависит от времени!

§ 6. Молекула аммиака

Теперь мы хотим продемонстрировать, как динамическое уравнение квантовой механики может быть использовано для описания какой-то физической обстановки. Мы выбрали интересный и простой пример, в котором, сделав некоторые разумные предположения о гамильтониане, сможем вывести кое-какие важные (и даже практически важные) результаты. Возьмем случай, когда достаточно двух состояний,— это молекула аммиака.

Молекулу аммиака образуют один атом азота и три атома водорода, плоскость которых проходит мимо атома азота, так что молекула имеет форму пирамидки (фиг. 6.1, а).

Фиг. 6.I. Два равноценных геометрических расположения молекулы аммиака.

Эта молекула, как и всякая другая, обладает бесконечным количеством состояний. Она может вращаться вокруг какой угодно оси; двигаться в любом направлении, вибрировать и т. д. и т. п. Значит, это вовсе не система с двумя состояниями. Но мы сделаем следующее приближение: предположим, что все прочие степени свободы закреплены и не связаны с теми, которые нас сейчас интересуют. Будем считать, что молекула может только вращаться вокруг оси симметрии (как показано на рисунке), что импульс ее переносного движения равен нулю и что ее колебания очень слабы. Это фиксирует все условия, кроме одного: для, атома азота все еще существуют два возможных положения — он может оказаться по одну сторону плоскости атомов водорода, а может оказаться и по другую (фиг. 6.1). Так что мы будем рассуждать о молекуле, как если бы она была системой с двумя состояниями. Под этим подразумевается, что существуют только два состояния, о которых реально следует заботиться, все же прочее предполагается зафиксированным. Как видите, если даже известно, что молекула вращается вокруг оси с определенным моментом количества движения и что она движется с определенным импульсом и колеблется определенным образом, то все равно еще остаются два Допустимых состояния. Будем говорить, что молекула находится в состоянии |1>, когда азот «вверху» (фиг. 6.1, а) и в состоянии |2>, когда азот «внизу» (фиг. 6.1, б). Состояния |1> и |2> в нашем анализе поведения молекулы аммиака можно принять за совокупность базисных состояний В каждый момент истинное состояние |y> молекулы может быть представлено заданием C_1=<1|y> — амплитуды пребывания в состоянии \1 и С_2=<2|y> — амплитуды пребывания в состоянии |2>. Тогда, используя (6.8), вектор состояния |y> можно записать так:

Но вот что интересно: если известно, что молекула в определенный момент была в определенном состоянии, то в следующий момент она может уже не быть в том же состоянии. Два С-коэффициента меняются со временем в соответствии с уравнениями (6.43), которые верны для любой системы с двумя состояниями. Предположим, к примеру, что вы сделали какое-то наблюдение (или как-то отобрали молекулы), так что знаете, что первоначально молекула находилась в состоянии |1>. Чуть позже уже появляются некоторые шансы засечь ее в состоянии |2>. Чтобы узнать, сколь велики эти шансы, нужно решить дифференциальное уравнение, которое говорит, как амплитуды меняются со временем.

Единственная трудность в том, что мы не знаем, что ставить вместо коэффициентов Нijв (6.43). Но кое-что мы все же можем сказать. Предположим, что, если уж молекула оказалась в состоянии \1 >, тогда у нее не будет никакого шанса когда-либо попасть в состояние |2>, И наоборот. Тогда H_12 и H_21 будут оба равны нулю, и (6.43) примет вид

Эти уравнения легко решить; получается

Это просто амплитуды стационарных состояний с энергиями E_1=H_11и E_2=H_22. Еще мы знаем, что у молекулы аммиака состояния |1>и |2>обладают определенной симметрией. Если природа ведет себя более или менее разумно, то матричные элементы Н_11и H_22должны равняться друг другу. Мы обозначим их через Е_0, потому что они соответствуют энергии, которой обладали бы состояния, будь H_12 и H_21 равны нулю.

Но (6.45) не отражает того, что на самом деле бывает с аммиаком. Оказывается, что аммиак имеет возможность протолкнуть свой азот мимо трех водородов и перебросить его по ту сторону. Это очень трудно: чтобы азоту пройти полпути, нужна немалая энергия. Как же он может пройти на другую сторону, если он не располагает достаточной энергией? Просто имеется некоторая амплитуда того, что он проникнет сквозь энергетический барьер. В квантовой механике разрешается быстро проскакивать через энергетически нелегальную область. Стало быть, существует небольшая амплитуда того, что молекула, начав с состояния |1>, перейдет в состояние |2>. Коэффициенты Н_12и Н_21на самом деле не равны нулю. И опять из симметрии ясно, что они должны быть одинаковы, по крайней мере по величине. И действительно, мы уже знаем, что вообще Нijравняется комплексно сопряженной величине Нji, т. е, они могут отличаться только фазой. Оказывается, как вы потом увидите, что без потери общности можно положить эти коэффициенты равными друг другу. Позднее нам будет удобнее считать их равными отрицательному числу; мы примем поэтому H_12=H_21=-А. Тогда получится следующая пара уравнений:

Эти уравнения достаточно просты и могут быть решены разным путем. Удобно решать их так. Складывая их, получаем

с решением

Вычитая затем (6.47) из (6.46), получаем

что дает

Две постоянные интегрирования мы обозначили а и b; их надо выбрать так, чтобы получились подходящие начальные условия данной физической задачи. Наконец, складывая и вычитая (6.48) и (6.49), получаем C_1и С_2:

Они отличаются только знаком при втором слагаемом.

Решения-то мы получили, но что они значат? (В квантовой механике трудность не только в том, чтобы получить решения но и в том, чтобы разобраться в их смысле!) Заметьте, что при b=0оба решения обладают одинаковой частотой w=(E_0-A)/h Если все меняется с одной частотой, это значит, что система пребывает в состоянии с определенной энергией, в данном случае с энергией (Е_0-А). Значит, существует стационарное состояние с такой энергией; в нем обе амплитуды С_1и C_2равны друг другу. Мы приходим к выводу, что молекула аммиака обладает определенной энергией (Е_0-А), если для атома азота одинакова амплитуда оказаться «вверху» и «внизу».

Имеется другое допустимое стационарное состояние, когда а=0; тогда обе амплитуды обладают частотой (E_0+A)/h. Значит, имеется другое состояние с определенной энергией (Е_0+А), когда две амплитуды равны, но отличаются знаком: C_2=-C_1. Вот и все состояния с определенной энергией. В следующей главе мы поговорим о состояниях молекулы аммиака подробнее; здесь же мы отметим еще только некоторые особенности.

Мы приходим к заключению, что из-за того, что имеется некоторая вероятность перескока атома азота из одного положения в другое, энергия молекулы равна не просто Е_0, как можно было ожидать, но обладает двумя энергетическими уровнями (Е_0+А)и (Е_0-А). Каждое из возможных состояний молекулы, какую бы энергию оно ни имело, «расщепляется» на два уровня. Мы говорим «каждое из состояний», потому что, как вы помните, мы выбрали какое-то определенное состояние вращения с определенной внутренней энергией и т. д. И для каждых мыслимых условий подобного рода возникает (из-за возможности переворота молекулы) пара энергетических уровней.

Теперь поставим следующий вопрос. Пусть мы знаем, что при t=0молекула находится в состоянии |1>, т. е. что С_1{0)=1 и С_2(0)=0. Какова вероятность того, что молекула будет обнаружена в момент t в состоянии |2> или же что она окажется в этот момент в состоянии |1>? Наши начальные условия говорят нам, какими должны быть а и b в (6.50) и (6.51). Полагая t=0, имеем

Значит, а=b=1. Подставляя их в формулы для С_1(t) и С_2(t) и вынося общий множитель, получаем

Это можно переписать так:

Величина обеих амплитуд гармонически изменяется во времени. Вероятность того, что молекула будет обнаружена в состоянии |2> в момент t, равна квадрату модуля C_2(t):

Она, как и следует, начинается с нуля, растет до единицы и затем колеблется вперед и назад между нулем и единицей, как показано на кривой, обозначенной P_2, на фиг. 6.2.

Фиг. 6.2. p_1— вероятность того, что молекула аммиака, находившаяся при t=0 в состоянии |1>, будет обнаружена в момент t тоже в состоянии |1>; Р_2— вероятность того, что она будет обнаружена в состоянии |2>.

Вероятность остаться в состоянии |1> тоже, конечно, не остается равной единице. Она «перекачивается» во второе состояние до тех пор, пока вероятность увидать молекулу в первом состоянии не обратится в нуль, как показано на кривой Р_1фиг. 6.2. Вероятность попросту переливается туда и обратно между этими двумя состояниями.

Еще раньше мы видели, что бывает, если качаются два одинаковых маятника, слегка связанные друг с другом [см. гл.49 (вып.4)]. Когда мы отводим в сторону один из них и отпускаем, он колеблется, но затем постепенно начинает колебаться другой и вскоре забирает себе всю энергию. Затем процесс обращается, и энергию отбирает первый маятник. В точности то же самое происходит и здесь. Скорость, с какой происходит обмен энергией (быстрота просачивания «колебаний»), зависит от связи между маятниками. Кроме того, как вы помните, при двух маятниках существуют два определенных типа движений (каждый с определенной частотой), которые мы назвали фундаментальными типами колебаний. Если отклонить оба маятника вместе, они колеблются с одной частотой. Если же отклонить один в одну сторону, а другой — в другую, то появляется иной стационарный тип колебаний и тоже с определенной частотой. С тем же мы встретились и сейчас — молекула аммиака математически походит на пару маятников. Существуют две частоты (E_0+A)/h и (Е_0-A)/h, при которых они колеблются либо разом, либо навстречу друг другу.

Сходство с маятником ненамного глубже принципа, что у одинаковых уравнений и решения одинаковы. Линейные уравнения для амплитуд (6.39) очень похожи на линейные уравнения для гармонических осцилляторов. (В действительности именно этой причине обязана успехом наша классическая теория показателя преломления, в которой квантовомеханический атом мы заменяли гармоническим осциллятором, хотя классически неразумно говорить об электронах, циркулирующих вокруг ядра.) Толкнув атом азота в одну сторону, вы получите суперпозицию этих двух колебаний и тем самым своеобразные биения, потому что система не будет находиться в том или ином состоянии с определенной частотой. Однако расщепление уровней энергии молекулы аммиака — это строго квантовомеханический эффект.

Расщепление уровней энергии молекулы аммиака имеет важные практические применения, которые мы опишем в следующей главе. Наконец-то у нас будет пример практической физической задачи, которую мы сможем понять при помощи квантовой механики!

* Здесь небольшая неприятность с обозначениями. В этом множителе i означает мнимую единицу Ц-1, а не индекс i, относящийся к i-му базисному состоянию! Надеемся, это не слишком смутит вас.

* Вы можете оказать, что надо писать не просто А, но |А|. Но тогда это будет похоже на символ «абсолютного значения А». Поэтому обычно черточки опускают. Черточка (|) вообще ведет себя очень похоже на множитель единица.

Content

8. Квантовая механика I

Глава 1 АМПЛИТУДЫ ВЕРОЯТНОСТИ

Глава 2 ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ

Глава 3 СПИН ЕДИНИЦА

Глава 4 СПИН ОДНА ВТОРАЯ

Глава 5 ЗАВИСИМОСТЬ АМПЛИТУД ОТ ВРЕМЕНИ

Глава 6 ГАМИЛЬТОНОВА МАТРИЦА